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用纯标准库奇数分段筛处理 10^8 上界，并以紧凑整数数组保存查询所需的前若干个素数。

三人下一次相遇的天数就是三个晨跑周期的最小公倍数，先求 lcm(a,b) 再与 c 合并即可。

设 P=x0*a、Q=x0*b 后可化成 a*b=y0/x0 且 gcd(a,b)=1，答案就是 y0/x0 的不同质因子个数对应的 2^k。

按分母 1..L 枚举，为每个分母找到不小于 A/B 的最小互质分子，再在这些候选里取最小分数。

利用偶数位回文除 11 外都不是质数的性质，只构造少量奇数位回文再试除判素。

若 floor(l/x) 和 floor(r/x) 相同，整段值都相同；否则区间一定出现相邻整数，最大公约数立刻变成 1。

从 2 试除到整数平方根，找到较小质因数后用 n 除以它得到较大质数。

把 L 形棋盘按黑白染色后，任意一次操作都会同时改动一黑一白，因此带符号和不变，可直接解出缺失值。

逐行提取字符串中的数字形成整数，超过 4e7 直接报大，否则做素数判断并按升序输出质因数分解。

按判别式分类讨论，先约分有理部分，再把判别式开方后提取最大平方因子并格式化输出较大实根。

利用每天剩余苹果数和最后一个苹果当前位置都按 floor(2x/3) 递推，直接在 O(log n) 内求出总天数与删除时刻。

把公差拆成 odd*2^t 后，新增数量只由 2^t 决定，答案是 (n-1)(2^t-1)。

先尽量买完整套餐，再在很小的剩余金额里枚举额外物品数。

把人数当作权重后，最优聚会地点就是距离轴上的带权中位数。

把奖励看成 k mod n，按整除块判断区间内能否取到 n-1。

把区间和转成数根前缀和，利用数根序列以 9 为周期循环。

最短步数恰好为 N，按顺序保留第 1 到第 N 枚硬币不翻即可得到字典序最小方案。

把空房间分配到环上的间隔里，最少相邻住人边数为 max(0, 2n-m)。

按埃氏筛的实际删数顺序模拟，统计第 k 次真正删除的整数。

比较每交换一对红蓝球带来的固定收益，决定是否交换到上限。

把每天模拟改成按工资段累加，每段贡献为实际天数乘当前金币数。

把 N 尽量平均拆成 M 份，商和余数直接决定最优方案。

利用约数个数奇偶性，最终亮着的灯恰好是完全平方数。

从 s 开始枚举，用试除法求真约数和，找到第一对互为真约数和的友好数。

不断用烟蒂兑换新烟，累加总烟数直到不足以换。

用 while 循环累加调和级数，直到前缀和第一次严格超过 k。

把上取整不等式化成 A * (I - 1) + 1。

把两个三位数翻转后直接比较大小。

拆出个位幂次后直接计算 num^p 并累加。

二分木材长度，统计总共能切出的段数是否至少达到 k。

二分最短跳跃距离，贪心统计给定距离下最少需要移走的石头数。

二分最少时间，检查给定时间下自然风干后剩余湿度对应的烘衣机总秒数是否不超过时间。

二分锯片高度，扫描树高判断当前高度能否得到至少 M 米木材，寻找最大可行高度。

二分最低睡前幸福值，用每天吃到刚达标就停止的贪心检查可行性并构造吃巧克力日期。

按截止时间从晚到早排序，倒着把每个任务贴到最晚可完成时刻，得到最迟开始时间。

排序牛舍后二分最小距离，用从左到右尽早放牛的贪心检查当前距离是否可行。

由两个条件推出 p+q，再用二次方程判别式判断是否存在正整数根。

用字典把互不相同的瓶子数映射到原位置，使每次询问直接查表。

排序学校分数线后，对每个学生二分找到左右相邻候选，累加最近分数线差值。

把第二个名单排序后，对第一个名单中的每个编号二分查找，按原顺序输出两个名单的交集。

把多次区间加分转成差分数组的两个端点修改，最后前缀还原并维护最低成绩。

用二维差分把每个半开矩形覆盖变成四个边界修改，再用二维前缀和还原并统计恰好 K 层的格子。

把已邀请奶牛作为传播源，用队列维护新邀请的奶牛，并在每个组只剩一头未邀请时触发继续邀请。

利用正整数区间和随左右端点单调变化的性质，用同向双指针枚举所有和为 M 的连续段。

把每次操作看成选择一个更长的原数组前缀，答案就是所有正的前缀和（下标至少为 2）之和。

用二维差分把每张地毯的矩形覆盖变成四个点修改，最后做二维前缀和还原每个格子的覆盖次数。

把最终喝到的水量看成一个长度不超过 k+1 的连续区间和，再用前缀和线性扫描最大值。

从左到右维护严格递减高度栈，当前入场前仍在栈中的牛都能看到它。

分别用单调栈求每个发射站左右最近更高站，再把能量累加到对应接收站上。

按入栈序列依次压栈，并在每次压栈后尽可能把栈顶与目标出栈序列匹配。

用一个辅助栈同步维护当前仓库中的最大值，入库、出库、查询都能在 O(1) 内完成。

从左到右统计前缀失衡次数，再用剩余的左括号数量除以二补上最少翻转数。

把表达式按加号切成若干乘积段，边扫描边维护当前乘积段与前面各段之和即可。

把当前水果序列压成若干连续块，按轮删除每块最左元素，并在构建下一轮块序列时合并相邻同类块。

把坏灯位置转成 01 数组，在所有长度为 K 的固定窗口中用滑动窗口维护坏灯个数的最小值。

分别维护递增队列和递减队列，用单调队列在线求出每个滑动窗口的最小值和最大值。

把当前牛队维护成双端队列，左右加入和左右删除都直接映射到 deque 的头尾操作。

用全局时间队列清理过期优惠票，再按票价分桶寻找最早可用且票价足够的地铁券。

用队列维护单词进入内存的先后顺序，再用标记数组判断当前是否命中内存。

用队列模拟报数过程，队头出队后要么出列，要么重新回到队尾。