迟到的生日

题目描述

给定区间 $[t_1, t_2]$ （ $1 \le t_1 \le t_2 \le 10^7$ ），求每个数的正约数个数之和。输入为两个整数 $t_1\ t_2$ ，输出该和。

样例输入 2 6，输出 13（ $2+2+3+2+4=13$ ）。

思路

设 $S(n)=\sum_{k=1}^{n}d(k)$ ，答案为 $S(t_2)-S(t_1-1)$ 。交换求和顺序得 $S(n)=\sum_{d=1}^{n}\lfloor n/d\rfloor$ 。商 $\lfloor n/d\rfloor$ 只有 $O(\sqrt n)$ 种，相同商的 $d$ 构成连续区间 $[l,r]$ ，其中 $r=\lfloor n/\lfloor n/l\rfloor\rfloor$ ，整段贡献为 $\lfloor n/l\rfloor\cdot(r-l+1)$ 。

参考代码

Python 版：

python

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33#!/usr/bin/env python3
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import sys


def divisor_count_sum(n: int) -> int:
    """S(n) = 1..n 每个数的约数个数之和：按商 floor(n/l) 分块累加。

    d(k) = ∑_{d|k} 1，交换求和顺序后 S(n) = ∑_{d=1}^{n} floor(n/d)；
    商 floor(n/l) 只有 O(√n) 种取值，同一商的 l 是连续区间 [l, r]。
    """
    total = 0
    l = 1
    while l <= n:
        q = n // l        # 当前块的商
        r = n // q        # 商仍为 q 的最大左端点
        total += q * (r - l + 1)
        l = r + 1
    return total


def solve() -> None:
    t1, t2 = map(int, sys.stdin.buffer.read().split())
    print(divisor_count_sum(t2) - divisor_count_sum(t1 - 1))


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 */

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll divisor_count_sum(ll n) {
    // S(n) = sum_{d=1}^{n} floor(n/d)，整除分块按相同商区间累加
    ll total = 0;
    ll l = 1;
    while (l <= n) {
        ll q = n / l;       // 当前块的商
        ll r = n / q;       // 商仍为 q 的最大右端点
        total += q * (r - l + 1);
        l = r + 1;
    }
    return total;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    ll t1, t2;
    if (!(cin >> t1 >> t2)) return 0;
    cout << divisor_count_sum(t2) - divisor_count_sum(t1 - 1) << "\n";
    return 0;
}

目录

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思路

参考代码