纪念品

题目描述

小 K 买回 $N$ 个纪念品，按购买顺序排成一排，每个纪念品有一个价格。她可以去掉一些，使剩下的纪念品中任意相邻两个的价格差的绝对值不等于 1（价格相同可以相邻），求最少去掉多少个。输入第一行一个整数 $N$ ，接下来 $N$ 行每行一个价格；输出最少去掉的个数。数据范围 $3 \le N \le 33$ 。样例输入为 6 及价格 4 2 2 1 1 1，输出 2。

思路

删得最少等价于留得最多，于是求最长的合法子序列。合法性只依赖相邻两个保留元素，仿照 LIS 设 $f[i]$ 表示一定保留第 $i$ 个纪念品时最多能保留多少个，转移为 $f[i] = 1 + \max\{f[j] : j < i,\ |a_i - a_j| \neq 1\}$ ，答案为 $N - \max f[i]$ ，复杂度 $O(N^2)$ 。注意差为 0 是允许的，判断条件是「不等于 1」。

参考代码

Python 版：

python

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31#!/usr/bin/env python3
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import sys


def best_keep(prices: list[int]) -> int:
    """最多能保留多少个纪念品：以每个下标结尾的最长合法子序列（类 LIS）。"""
    keep = [1] * len(prices)  # keep[i]：一定保留第 i 个纪念品时，最多保留多少个
    for i, price in enumerate(prices):
        # 保留的第 j 个在 i 前面，且它接到 i 身边时差值不为 1，才能转移
        keep[i] = 1 + max(
            (keep[j] for j, prev in enumerate(prices[:i]) if abs(price - prev) != 1),
            default=0,  # 前面一个都接不上时，只保留 i 自己
        )
    return max(keep)


def solve() -> None:
    data = iter(map(int, sys.stdin.buffer.read().split()))
    n = next(data)
    prices = [next(data) for _ in range(n)]
    print(n - best_keep(prices))


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

cpp

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 */

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 1005;

ll price[MAXN]; // price[i] 表示第 i 个纪念品的价格
ll f[MAXN];     // f[i] 表示一定保留第 i 个纪念品时最多能保留多少个

int main() {
    ll n;
    cin >> n;
    for (ll i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> price[i];
    }

    ll best_keep = 0;
    for (ll i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = 1; // 前面接不上任何纪念品时，只保留第 i 个
        for (ll j = 1; j < i; j++) {
            // 保留序列里 i 的前一个元素是 j，两者价格差的绝对值不能为 1
            if (abs(price[i] - price[j]) != 1 && f[j] + 1 > f[i]) {
                f[i] = f[j] + 1;
            }
        }
        if (f[i] > best_keep) {
            best_keep = f[i];
        }
    }

    // 删得最少 = 留得最多，答案为总数减去最长合法子序列长度
    cout << n - best_keep << endl;
    return 0;
}

目录

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思路

参考代码