统一省选历年真题题单

本题单整理 CCF 统一命题的 NOI 省队选拔（俗称"省选联考"）真题，目前收录 2020 到 2026 年，共 48 题。

为什么要单独做这一份

2020 年之前，各省省选由本省自行命题，风格差异极大。CCF 在 2020-01-10 的通知中改为：

从 2020 年开始，NOI 省队选拔由 CCF 命题和评测，有能力命题的省可自行命题，但选拔方式需得到 CCF 的批准。

2022 年起进一步统一（通知）：

共安排两试，每试 3 道题，不再区分 A/B 试卷类型。

也就是说：2020 年之后绝大多数省份考的是同一套题。HNOI2015、SDOI2014 这类老省选题练的是已停考的风格，而本题单收录的才是现行考法。

收录口径

• 只收录 CCF 统一命题的省选联考，不含各省自主命题的 XXOI 系列。
• 2020–2021 年分 A / B 卷，标注 A卷、B卷、A/B卷（两卷共用的题）。
• 2022 年起合并为单一试卷，每年两试共 6 题。
• 每题标注洛谷难度档：提高+ = 提高+/省选-，省选 = 省选/NOI-，NOI = NOI/NOI+/CTS。
• 难度按现行洛谷 8 档体系，2026 年的题因难度评级仍在调整，仅供参考。

使用建议

省选是一场两试共 6 题、每试 5 小时的考试。建议按整年做，而不是按题单顺序刷：

1
2
3Day1：限时 5 小时，做完 T1–T3
Day2：限时 5 小时，做完 T4–T6
然后逐题复盘：暴力分怎么拿 / 正解关键观察 / 最容易错在哪

第一遍不要看题解，目标是把能拿的分全部拿到手；第二遍再补正解。

2020 统一省选

2020 年是 CCF 统一命题的第一年，分 A、B 两卷，部分题目两卷共用。

A 卷

• luogu P6623洛谷原题
  · 树

  • 难度：省选
  • 训练目的：把「子树内所有点的 (权值 + 距离) 异或和」化成 01-Trie 上的合并，练习 Trie 合并与全局加一的惰性写法。
• luogu P6624洛谷原题
  · 作业题

  • 难度：省选
  • 训练目的：生成树计数与 gcd 的组合。需要先会矩阵树定理，再用莫比乌斯反演把「边权 gcd 恰好为 d」转成「gcd 是 d 的倍数」。
• luogu P6621洛谷原题
  · 魔法商店

  • 难度：NOI
  • 训练目的：拟阵与线性基。先理解「任意非空子集异或和不为 0」等价于线性无关，再处理带价格的拟阵最大权独立集。
• luogu P6620洛谷原题
  · 组合数问题

  • 难度：省选
  • 训练目的：把多项式 f(k) 用下降幂展开，配合二项式定理化简 ∑f(k)x^k·C(n,k)。练「多项式拆成下降幂再求和」这套组合恒等式技巧。

A/B 卷共用

• luogu P6622洛谷原题
  · 信号传递

  • 难度：提高+
  • 训练目的：状压 DP 优化。把「信号站排列」压成集合状态，用预处理的两两代价表把转移降到 O(2^m·m)。
• luogu P6619洛谷原题
  · 冰火战士

  • 难度：提高+
  • 训练目的：两个有序序列的平衡点查询。用树状数组或线段树上二分找「冰系能量和 ≥ 火系能量和」的分界点，练带权中位数的动态维护。

B 卷

• luogu P6625 [省选联考 2020 B 卷] 卡牌游戏题解
  · 卡牌游戏

  • 难度：普及-
  • 训练目的：贪心入门。每次把左侧连续若干张合并，本质是前缀和的最大化，练「什么时候该停」的贪心判断。
• luogu P6626洛谷原题
  · 消息传递

  • 难度：提高+
  • 训练目的：树上距离计数。一次询问 (x,k) 求「到 x 距离恰好为 k 的点数」，练点分治或长链剖分。
• luogu P6627洛谷原题
  · 幸运数字

  • 难度：普及+/提高-
  • 训练目的：区间异或的离线处理。把三种奖励条件统一成「区间 + 值」的修改，练扫描线 + 异或懒标记。
• luogu P6628 [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路题解
  · 丁香之路

  • 难度：NOI
  • 训练目的：欧拉路径与最小生成树的结合。先想清楚「遍历所有带花的边」的充要条件，再处理奇度点的配对。

2021 统一省选

分 A、B 两卷，部分题目两卷共用。

A 卷

• luogu P7520洛谷原题
  · 支配

  • 难度：省选
  • 训练目的：支配树。先学 Lengauer-Tarjan 或从 DAG 情况入手建支配树，再处理「加一条边后受支配集变化」的询问。
• luogu P7515洛谷原题
  · 矩阵游戏

  • 难度：省选
  • 训练目的：差分约束。由 b 反推 a 时自由度是「每行每列一个偏移量」，把值域约束写成差分约束系统。

A/B 卷共用

• luogu P7518洛谷原题
  · 宝石

  • 难度：省选
  • 训练目的：树上路径按顺序收集。把「按宝石种类顺序」拆成倍增预处理 + 树链剖分或重链上二分。
• luogu P7519洛谷原题
  · 滚榜

  • 难度：提高+
  • 训练目的：状压 DP + 排序。把「过题数」压成状态，按封榜后榜单的单调性剪掉大量非法转移。
• luogu P7516 [省选联考 2021 A/B 卷] 图函数题解
  · 图函数

  • 难度：省选
  • 训练目的：按编号删点的可达性。倒序加边 + Floyd 式松弛，练「删点变加点」的常见转化。
• luogu P7514洛谷原题
  · 卡牌游戏

  • 难度：提高
  • 训练目的：二分答案 + 双指针。先二分极差，再判断能否用不超过 m 次翻面让所有数落进区间。

B 卷

• luogu P7517洛谷原题
  · 数对

  • 难度：普及
  • 训练目的：数论入门。枚举倍数关系，练 O(n log n) 调和级数复杂度。
• luogu P7521洛谷原题
  · 取模

  • 难度：提高+
  • 训练目的：三数取模最大值。先排序固定最大值，再对余数分类讨论，练「取模后值域有限」的枚举技巧。

2022 统一省选

从这一年起不再区分 A/B 卷，每年两试共 6 题。

• luogu P8289洛谷原题
  · 预处理器

  • 难度：普及+/提高-
  • 训练目的：模拟 + 字符串处理。实现宏展开，注意递归展开、空定义和展开顺序。
• luogu P8290洛谷原题
  · 填树

  • 难度：省选
  • 训练目的：树上路径计数 + 值域扫描。把「路径上权值单调递增」转成按权值排序后加点，练「按值域增量维护连通块」。
• luogu P8291洛谷原题
  · 学术社区

  • 难度：NOI
  • 训练目的：字符串与图论的结合。把网名相同/不同的约束建成 2-SAT 或并查集，再处理消息序列。
• luogu P8292洛谷原题
  · 卡牌

  • 难度：省选
  • 训练目的：容斥 + 状压。每轮给出若干质数要求「乘积被它们整除」，把小质数状压、大质数单独容斥。
• luogu P8293洛谷原题
  · 序列变换

  • 难度：NOI
  • 训练目的：括号序列的树形结构。把合法括号序列看成树，变换操作对应树上操作，练括号序列 ↔ 树的互相转化。
• luogu P8294洛谷原题
  · 最大权独立集问题

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树上 DP + 信息传递建模。把 AI 之间的通信约束建成图，在图上求最大权独立集。

2023 统一省选

• luogu P9166洛谷原题
  · 火车站

  • 难度：普及+/提高-
  • 训练目的：区间覆盖 + 可达性。轨道是区间，换轨只能在覆盖点，练「区间图上的连通性」。
• luogu P9169洛谷原题
  · 过河卒

  • 难度：省选
  • 训练目的：博弈 + BFS。棋盘上红黑双方轮流走，用状态图上的胜负判定（逆推 BFS）而非 SG 值。
• luogu P9167洛谷原题
  · 城市建造

  • 难度：NOI
  • 训练目的：连通块大小约束的计数。先分析「额外加的边」必须满足的结构，再做带限制的生成树计数。
• luogu P9168洛谷原题
  · 人员调度

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树上贪心 + 数据结构。部门是树，员工可上调，求最优调度，练「树上合并 + 可并堆」。
• luogu P9170洛谷原题
  · 填数游戏

  • 难度：NOI
  • 训练目的：双人构造博弈。Alice 先写、Bob 后写，需要分析后手优势区间并构造策略。
• luogu P9171洛谷原题
  · 染色数组

  • 难度：NOI
  • 训练目的：红升绿降的双序列划分。等价于判断能否拆成两个单调序列，练 Dilworth 定理与偏序集。

2024 统一省选

• luogu P10217洛谷原题
  · 季风

  • 难度：提高+
  • 训练目的：线性不等式组的最小非负整数解。把条件写成前缀和约束，二分答案后判可行性。
• luogu P10218洛谷原题
  · 魔法手杖

  • 难度：省选
  • 训练目的：位运算贪心 + 二分。从高位到低位确定答案的每一位，用可行性检查剪枝。
• luogu P10219洛谷原题
  · 虫洞

  • 难度：NOI
  • 训练目的：有向图上的时序约束。虫洞带建造时间，需要把「时间」这一维纳入建模。
• luogu P10220洛谷原题
  · 迷宫守卫

  • 难度：省选
  • 训练目的：满二叉树上的贪心与 DP。叶子到根路径上的守卫唤醒有代价，练树上最优决策。
• luogu P10221洛谷原题
  · 重塑时光

  • 难度：NOI
  • 训练目的：排列与时间线。把「事件顺序被打乱」建模成排列上的等价类计数。
• luogu P10222洛谷原题
  · 最长待机

  • 难度：NOI
  • 训练目的：程序语义 + 博弈。需要先读懂 Sleep++ 的执行规则，再分析双方的最优策略。

2025 统一省选

• luogu P11830洛谷原题
  · 幸运数字

  • 难度：提高
  • 训练目的：区间内可重集中位数的取值范围。练「给定每个数的取值范围，求中位数可能的最大值」这类极值分析。
• luogu P11831洛谷原题
  · 追忆

  • 难度：省选
  • 训练目的：有向图可达性 + 动态维护。两个排列作为权值并支持交换，查询满足可达条件的最大权值，练「动态图 + 数据结构」。
• luogu P11832洛谷原题
  · 图排列

  • 难度：NOI
  • 训练目的：由图的边集反推排列。需要从二元组的性质出发，分析排列的可行条件。
• luogu P11833洛谷原题
  · 推箱子

  • 难度：提高+
  • 训练目的：贪心 + 线段树。数轴上箱子不能重叠且目标位置单调，练「相邻约束下的调度可行性」。
• luogu P11834洛谷原题
  · 岁月

  • 难度：NOI
  • 训练目的：随机图上的期望。每条边独立地变成有向边或消失，求连通性相关期望，练概率 DP + 并查集。
• luogu P11835洛谷原题
  · 封印

  • 难度：NOI
  • 训练目的：序列操作与势能分析。每次选严格前缀最大值插入尾部再删前缀，需要分析操作的势能变化。

2026 统一省选

2026 年的题目难度评级仍在洛谷调整中，档位仅供参考。

• luogu P15649洛谷原题
  · 找寻者

  • 难度：提高+
  • 训练目的：轻重链剖分的结构计数。题目直接以「自定义重儿子选择」为背景，是检验 HLD 理解深度的好题。
• luogu P15650洛谷原题
  · 摩卡串

  • 难度：省选
  • 训练目的：子串字典序计数。求「恰好有 k 个子串字典序小于它」的最短子串，练后缀数组/后缀自动机上的计数。
• luogu P15651洛谷原题
  · 夜空

  • 难度：NOI
  • 训练目的：异或归约与逆推。从左右两端不断把两个数换成异或和，需要分析可逆性与不变量。
• luogu P15652洛谷原题
  · 排列游戏

  • 难度：提高
  • 训练目的：交互式猜排列。询问 mex 来还原排列，练信息量与构造。
• luogu P15653洛谷原题
  · 星图

  • 难度：NOI
  • 训练目的：图上操作的不变量。每次选 k 个点翻转两两之间的边，分析可达状态与不变量。
• luogu P15654洛谷原题
  · 工业系统

  • 难度：NOI
  • 训练目的：换根 + 树上统计。以每个点为根时所有后代产物都要汇聚，练换根 DP 与子树聚合。

进度总览

与其他题单的关系

• 算法点系统训练：洛谷-试炼场：省选斗兽场/NOI 神殿
• 知识点路径：洛谷官方深入浅出进阶篇题单
• NOI 正赛：NOI 历年真题题单
• 上一级认证：CSP-S 历年真题题单

顺序建议：先用进阶篇把算法点铺开，再用本题单做整年模拟，最后用省选斗兽场补薄弱专题。