NOI 历年真题题单

本题单整理全国青少年信息学奥林匹克竞赛（NOI）正赛真题，目前收录 2016 到 2026 年，每年 6 题（2019 年 7 题，含加强版），共 67 题。

收录口径

• 只收录 NOI 正赛（含冬令营之外的正式比赛日）题目，不含 NOI Online、NOI 嘉年华 等周边赛事。
• 每年两试，每试 3 题，标注为 D1T1–D2T3 或按洛谷题号顺序。
• 不含 NOIP（现 CSP-S）——那是省选的前置认证，另有CSP-S 历年真题题单。
• 难度按洛谷现行 8 档体系：提高+ = 提高+/省选-，省选 = 省选/NOI-，NOI = NOI/NOI+/CTS。

这份题单的定位

NOI 正赛难度显著高于省选，绝大多数题目标注为 省选 或 NOI 档。它不是用来"刷完"的，用途有三个：

1. 看风格：NOI 爱考什么、怎么设置部分分、题面长什么样。
2. 练部分分：NOI 每题都有明确子任务，暴力分往往能拿 30–60 分，这部分是必须练的。
3. 定上限：知道自己离省队线还差多远。

建议先做省选真题（统一省选历年真题题单），省选稳定进省队之后再来做本题单。

使用建议

1
2
3第一遍：只看题面 + 想 20 分钟，写出部分分策略，不看代码
第二遍：实现部分分，拿真实得分
第三遍：读正解，补算法点

不要一开始就冲正解。NOI 的评分是子任务制，部分分策略本身就是考点。

NOI2016

• luogu P1117洛谷原题
  · 优秀的拆分

  • 难度：省选
  • 训练目的：字符串计数。求所有「AABB 形式」的拆分方案数，练后缀数组 + 调和级数枚举。
• luogu P1173洛谷原题
  · 网格

  • 难度：省选
  • 训练目的：网格图连通性判定。蛐蛐是障碍，判断能否用最少改动让跳蚤不连通，练平面图割与特判。
• luogu P1587洛谷原题
  · 循环之美

  • 难度：NOI
  • 训练目的：数论反演。纯循环小数计数，练莫比乌斯反演 + 杜教筛。
• luogu P1712 [NOI2016] 区间题解
  · 区间

  • 难度：提高
  • 训练目的：双指针 + 线段树。选 m 个区间使它们有公共点且极差最小，练「按长度排序后滑动窗口 + 覆盖次数最大值」。
• luogu P1721洛谷原题
  · 国王饮水记

  • 难度：NOI
  • 训练目的：贪心 + 凸优化。水位合并的收益最大化，练「按大小排序后合并相邻段」的结论推导。
• luogu P1737洛谷原题
  · 旷野大计算

  • 难度：NOI
  • 训练目的：构造题。用有限种基本操作拼出目标函数，练「把运算拆成允许的原语」的构造思维。

NOI2017

• luogu P3822洛谷原题
  · 整数

  • 难度：省选
  • 训练目的：二进制高精度 + 位运算。支持大数加减与单点查询，练「压位 + 懒标记」或线段树维护进位。
• luogu P3823 [NOI2017] 蚯蚓排队题解
  · 蚯蚓排队

  • 难度：省选
  • 训练目的：链表 + 哈希。维护若干序列并统计子串出现次数，练「长度受限时只哈希短串」的关键观察。
• luogu P3824洛谷原题
  · 泳池

  • 难度：NOI
  • 训练目的：DP + 线性递推。矩形安全区域计数，练「按最小不安全位置划分」的 DP 设计。
• luogu P3825 [NOI2017] 游戏题解
  · 游戏

  • 难度：提高+
  • 训练目的：2-SAT。地图限制赛车类型，d 很小可以枚举，练「小范围枚举 + 2-SAT 判定」。
• luogu P3826洛谷原题
  · 蔬菜

  • 难度：NOI
  • 训练目的：费用流 / 贪心 + 并查集。蔬菜按天变质，练「倒序处理 + 可撤销贪心」。
• luogu P3827洛谷原题
  · 分身术

  • 难度：NOI
  • 训练目的：动态凸包。删点后剩余点的凸包面积，练「离线倒序加点」或「分块重建」。

NOI2018

• luogu P4768洛谷原题
  · 归程

  • 难度：提高+
  • 训练目的：Kruskal 重构树 + 最短路。按海拔建重构树后查询子树最小值，练「边权阈值 → 树上子树」的经典转化。
• luogu P4769洛谷原题
  · 冒泡排序

  • 难度：NOI
  • 训练目的：排列与逆序对。求冒泡排序交换次数的期望或计数，练「逆序对 ↔ 排列统计」的组合推导。
• luogu P4770洛谷原题
  · 你的名字

  • 难度：NOI
  • 训练目的：后缀自动机 + 线段树合并。多串的公共子串去重计数，练 SAM 上的 endpos 维护。
• luogu P4774洛谷原题
  · 屠龙勇士

  • 难度：提高+
  • 训练目的：扩展中国剩余定理（excrt）。血量与恢复量构成同余方程组，练 excrt 与无解判定。
• luogu P4775洛谷原题
  · 情报中心

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树上路径交 + 数据结构。多条路径的公共部分统计，练「路径交 = LCA 相关量」的推导。
• luogu P4776洛谷原题
  · 多边形

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树上 DP + 计数。虽然名字叫多边形，实际是树上结构计数，练「子树信息合并 + 容斥」。

NOI2019

• luogu P5468洛谷原题
  · 回家路线

  • 难度：省选
  • 训练目的：DP + 斜率优化。按列车时间转移，练「时间轴上的 DP + 凸包维护」。
• luogu P6302 [NOI2019] 回家路线 加强版题解
  · 回家路线 加强版

  • 难度：省选
  • 训练目的：同上题的加强数据，需要在斜率优化基础上处理更多细节，建议做完 P5468 再挑战。
• luogu P5469洛谷原题
  · 机器人

  • 难度：NOI
  • 训练目的：区间 DP + 笛卡尔树。柱子上机器人移动，练「按最大值分治」的区间 DP 优化。
• luogu P5470洛谷原题
  · 序列

  • 难度：NOI
  • 训练目的：贪心 + 可撤销堆。选下标使两序列各取 k 个且至少 l 个重合，练「反悔贪心」。
• luogu P5471洛谷原题
  · 弹跳

  • 难度：省选
  • 训练目的：KD-Tree 或线段树套线段树优化建图。矩形范围连边跑最短路，练「范围连边 → 数据结构优化」。
• luogu P5472洛谷原题
  · 斗主地

  • 难度：NOI
  • 训练目的：洗牌过程的概率建模。多次洗牌后牌的位置分布，练「线性变换的期望传递」。
• luogu P5473洛谷原题
  · I 君的探险

  • 难度：NOI
  • 训练目的：交互题。通过有限次查询还原图结构，练信息量与二分构造。

NOI2020

• luogu P6772 [NOI2020] 美食家题解
  · 美食家

  • 难度：提高+
  • 训练目的：矩阵快速幂 + 分段。城市愉悦值随时间衰减，练「按美食节分段做矩阵加速 DP」。
• luogu P6773洛谷原题
  · 命运

  • 难度：省选
  • 训练目的：树上 DP + 线段树合并。时间树的路径约束计数，练「子树信息合并 + 懒标记」。
• luogu P6774洛谷原题
  · 时代的眼泪

  • 难度：NOI
  • 训练目的：二维数点 + 分块。矩形内点的统计，练「二维偏序 + 分块平衡复杂度」。
• luogu P6775洛谷原题
  · 制作菜品

  • 难度：NOI
  • 训练目的：构造 + 图论建模。原材料分配成菜，练「把配额约束建成图上的欧拉/度数问题」。
• luogu P6776洛谷原题
  · 超现实树

  • 难度：NOI
  • 训练目的：二叉树结构归纳。判断一棵树能否由给定集合生成，练「结构递归 + 同构判定」。
• luogu P6777洛谷原题
  · 翻修道路

  • 难度：NOI
  • 训练目的：图论结构分析。道路满足特殊环路条件，练「从特殊性质推出图的结构」再计数。

NOI2021

• luogu P7735洛谷原题
  · 轻重边

  • 难度：省选
  • 训练目的：树链剖分 + 边权维护。路径上「重边」数量统计，练「边权转点权 + 区间赋值」。推荐在学完树剖后立刻做。
• luogu P7736洛谷原题
  · 路径交点

  • 难度：省选
  • 训练目的：分层图上路径不交的选择计数，练 LGV 引理（行列式计数）。
• luogu P7737洛谷原题
  · 庆典

  • 难度：省选
  • 训练目的：特殊有向图上的可达性。道路满足「菱形性质」，练「缩点后建树 + 树上倍增」。
• luogu P7738洛谷原题
  · 量子通信

  • 难度：省选
  • 训练目的：随机化 / 分块。01 串的海明距离查询，练「按块预处理 + 暴力结合」的根号平衡。
• luogu P7739洛谷原题
  · 密码箱

  • 难度：NOI
  • 训练目的：数列操作 + 矩阵 / 平衡树。对数列末尾加减并维护某种结构，练「矩阵表示的变换 + 平衡树维护」。
• luogu P7740洛谷原题
  · 机器人游戏

  • 难度：NOI
  • 训练目的：多机器人多纸带的状态模拟 + 计数，练「状态压缩 + 周期分析」。

NOI2022

• luogu P8496洛谷原题
  · 众数

  • 难度：省选
  • 训练目的：多序列的众数查询 + 合并。练「线段树合并 / 摩尔投票 + 值域分治」。
• luogu P8497洛谷原题
  · 移除石子

  • 难度：NOI
  • 训练目的：区间操作贪心。两种移除方式，练「贪心可行性判定 + 结论推导」。
• luogu P8498洛谷原题
  · 树上邻域数点

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树上邻域统计。给定半径求点数，练「点分治 / 长链剖分」处理邻域问题。
• luogu P8499洛谷原题
  · 挑战 NPC Ⅱ

  • 难度：省选
  • 训练目的：树同构判定。练「树的哈希 + 同构递归比较」，是子图同构在树上的多项式特例。
• luogu P8500洛谷原题
  · 冒泡排序

  • 难度：NOI
  • 训练目的：排列计数 + 区间最小值约束。练「按最小值分治 + 组合计数」。
• luogu P8501洛谷原题
  · 二次整数规划问题

  • 难度：NOI
  • 训练目的：变量取值约束下的最优解构造。练「把约束化成图后求特殊结构」的建模。

NOI2023

• luogu P9478洛谷原题
  · 方格染色

  • 难度：提高+
  • 训练目的：二维染色 + 离散化。三种染色操作，练「按操作顺序倒推 + 区间覆盖」。
• luogu P9481洛谷原题
  · 贸易

  • 难度：提高+
  • 训练目的：树上/图上路径优化。练「第一类道路构成树 + 额外边的处理」。
• luogu P9479洛谷原题
  · 桂花树

  • 难度：NOI
  • 训练目的：LCA 结构约束下的树的计数。练「由 LCA 关系反推树形」的 DP。
• luogu P9480洛谷原题
  · 深搜

  • 难度：NOI
  • 训练目的：DFS 树的性质。给定图判断能生成哪些 DFS 树，练「DFS 树 ↔ 图的边分类」。
• luogu P9482洛谷原题
  · 字符串

  • 难度：省选
  • 训练目的：字符串比较 + 数据结构。练「后缀数组 + 区间查询」或「哈希 + 二分」。
• luogu P9483洛谷原题
  · 合并书本

  • 难度：NOI
  • 训练目的：合并代价的 DP。磨损值随合并变化，练「区间 DP + 状态设计」。

NOI2024

• luogu P10785洛谷原题
  · 集合

  • 难度：省选
  • 训练目的：置换 + 集合序列。练「置换群作用下的等价类判定」。
• luogu P10786洛谷原题
  · 百万富翁

  • 难度：省选
  • 训练目的：交互 + 比较次数限制。用最少的比较找出最大值，练信息论下界与构造。
• luogu P10787洛谷原题
  · 树的定向

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树的定向计数。要求某些点对不可达，练「定向约束 → 树上 DP」。
• luogu P10788洛谷原题
  · 分数

  • 难度：NOI
  • 训练目的：由公理系统定义集合。练「从性质反推结构」的数学推导。
• luogu P10789洛谷原题
  · 登山

  • 难度：NOI
  • 训练目的：树上有向移动的最优策略。练「树上 DP + 贪心合并」。
• luogu P10790洛谷原题
  · 树形图

  • 难度：NOI
  • 训练目的：有向图根与点的分类。练「唯一简单路径条件 → 图的结构刻画」。

NOI2025

• luogu P13271洛谷原题
  · 机器人

  • 难度：普及+/提高-
  • 训练目的：按路口编号的道路选择 + 模拟。本题是 NOI 里少见的低难度题，适合作为入门练手。
• luogu P13272洛谷原题
  · 序列变换

  • 难度：省选
  • 训练目的：序列操作的不变量。相邻两数一增一减，练「和守恒 + 可达性判定」。
• luogu P13274洛谷原题
  · 三目运算符

  • 难度：提高+
  • 训练目的：01 串变换的不动点。练「找不变量 + 判定循环」。
• luogu P13273洛谷原题
  · 数字树

  • 难度：NOI
  • 训练目的：二叉树 DFS 序与消消乐。练「栈结构 ↔ DFS 序」的组合。
• luogu P13275洛谷原题
  · 集合

  • 难度：NOI
  • 训练目的：按位与 + 子集枚举。练「位运算性质 + 集合划分计数」。
• luogu P13276洛谷原题
  · 绝对防御

  • 难度：NOI
  • 训练目的：卡牌游戏的回合制策略。练「状态机建模 + 最优策略分析」。

NOI2026

2026 年的题目难度评级仍在洛谷调整中，档位仅供参考。

• luogu P17140洛谷原题
  · 线段

  • 难度：提高+
  • 训练目的：线段相交图的特殊性质。练「区间图 → 弦图/完美图」的结构分析。
• luogu P17143洛谷原题
  · 中位数

  • 难度：省选
  • 训练目的：序列划分 + 中位数极值。练「二分答案 + 划分 DP」。
• luogu P17141洛谷原题
  · 传送

  • 难度：省选
  • 训练目的：树上随机游走 + 传送门。练「期望 DP + 树上高斯消元」。
• luogu P17142洛谷原题
  · 布丁

  • 难度：NOI
  • 训练目的：交互式数值猜测。练「查询设计 + 信息量分析」。
• luogu P17144洛谷原题
  · 木棉

  • 难度：NOI
  • 训练目的：Prüfer 序列 + 区间。练「Prüfer 编码 ↔ 树」的互相转化。
• luogu P17145洛谷原题
  · 彩虹树

  • 难度：NOI
  • 训练目的：子树颜色种类数。经典「树上数颜色」问题，练「线段树合并 / 树上莫队」。

进度总览

由易到难的推荐顺序

如果不知道从哪开始，按洛谷难度从低到高挑题：

这十题难度落在 提高 到 提高+，是进入 NOI 难度的合理台阶。

与其他题单的关系

• 省选真题：统一省选历年真题题单
• 算法点系统训练：洛谷-试炼场：省选斗兽场/NOI 神殿
• 上一级认证：CSP-S 历年真题题单

顺序建议：CSP-S → 统一省选 → 本题单。