「Drainage Ditches」排水沟

形式化题目

给定一张有向图 $G=(V,E)$ ， $|V| = M$ 、 $|E| = N$ ，每条弧 $(S_i,E_i)$ 带非负容量 $C_i$ （ $C_i$ 允许为 $0$ ）。指定源点 $s = 1$ 、汇点 $t = M$ 。

求一个满足下面两个约束的流 $f : E \to \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 的最大值：

0 \leqslant f(u,v) \leqslant c(u,v), \qquad \sum_{u} f(u,v) = \sum_{w} f(v,w) \quad (v \neq s,\ t).

也就是求从 $1$ 号点到 $M$ 号点的最大流。图中可能存在重边、自环与环，更不保证 $S_i < E_i$ ，所以它不是 DAG，不能靠拓扑序上的 DP 解决。

以样例为例，5 条沟渠构成的流网络如下（箭头上的数字是容量）。

graph LR
    v1((1 池塘))
    v2((2))
    v3((3))
    v4((4 河))
    v1 -->|40| v2
    v1 -->|20| v4
    v2 -->|20| v4
    v2 -->|30| v3
    v3 -->|10| v4

读者可以观察到三件事： $1$ 的两条出边容量之和是 $60$ ，但进入 $4$ 的三条边容量之和只有 $20+20+10 = 50$ ，答案正是 $50$ —— 说明答案受"每一条弧各自的上限"同时约束，是多条路共享容量的结果，不是某一条最宽路的瓶颈。另外 $1\to2\to4$ 与 $1\to2\to3\to4$ 都要穿过 $1\to2$ 这条容量 $40$ 的沟渠，它们必须分这 $40$ 的额度。

正解

思路

第一步：为什么"找一条最宽的路"不对

最朴素的想法是：找一条从 $1$ 到 $M$ 的路，让它的瓶颈尽量大，把这条路的流量当作答案。但样例直接否定了它：只用 $1 \to 4$ 只能得到 $20$ ； $1\to2\to4$ 、 $1\to2\to3\to4$ 与它并不互斥，三条路可以同时送水，各自的瓶颈 $20,20,10$ 加起来才是 $50$ 。

所以答案不是一条路，而是一组互相共享容量、又都不超限的"流量分配"。这正是流的定义：每条弧上有流量 $f(u,v)$ ，除源汇外每个点流入等于流出，且 $0 \leqslant f(u,v) \leqslant c(u,v)$ 。

第二步：贪心推路径为什么必须能"撤销"

第二个想法是：反复找一条"还有剩余容量的路"，沿路把瓶颈流量推满并累加，直到找不到为止。

这个方向是对的，但只推正向会卡住。看一个最小反例：容量为 $s\to a=1$ 、 $s\to b=1$ 、 $a\to b=1$ 、 $a\to t=1$ 、 $b\to t=1$ 。如果第一步推了 $s \to a \to b \to t$ （瓶颈 $1$ ），则 $a \to t$ 、 $s \to b$ 都空着，可流只有 $1$ ；而最优是 $s\to a\to t$ 与 $s\to b\to t$ 两条，共 $2$ 。要救回来，必须能把 $a \to b$ 上已经推的那单位水退回去。

做法是维护残量网络 $G_f$ ：每条弧 $u \to v$ 除了正向剩余容量 $c(u,v) - f(u,v)$ ，再追加一条反向弧 $v \to u$ ，容量等于已推送的 $f(u,v)$ 。反向弧上推流量不代表水真的倒流，它的含义是减少原来那条正向弧的流量。把"撤销"变成"走一条反向弧"之后，算法就统一成了"在 $G_f$ 里找路"。

第三步：用增广路定理给出终止条件

设 $f$ 是当前可行流，若 $G_f$ 里还有 $s \to t$ 的路（称为增广路），沿着它每条弧都增加 $\delta = \min c_f$ ，就得到一个流量多 $\delta$ 的可行流（每条约中间点进、出各变 $\delta$ ，净流入不变；每条原弧要么加不超容量、要么减不为负）。

反过来，若 $G_f$ 里没有增广路，取 $S$ = 从 $s$ 在 $G_f$ 中可达的点集：任何从 $S$ 指向 $\bar S$ 的原图弧若还没满流，它的剩余容量就会让 $\bar S$ 里的端点也可达，矛盾，所以这些弧全部满流；同理 $\bar S \to S$ 的原图弧流量必须为 $0$ ，否则反向剩余容量同样会让 $\bar S$ 可达到达。两者合起来说明跨割的净流量 $|f| = \sum_{u\in S, v \notin S} c(u,v)$ 恰等于这个割的容量；而任何流的值都不超过任何割的容量，所以 $f$ 已经是最大流。

增广路定理： $f$ 是最大流 $\iff$ $G_f$ 中不存在 $s \to t$ 的路。

这条定理就是"不断增广、直到无路可走"这一族算法（Ford–Fulkerson 思路）的正确性依据。

第四步：Dinic —— 把"每轮一条路"变成"每轮一层阻塞流"

朴素的每次只增广一条路，轮数可能和答案大小成正比（这里 $C_i$ 可达 $10^7$ ，完全不可行）。 Dinic 把找路这件事批量化：

BFS 分层：在 $G_f$ 上只沿 cap > 0 的弧走，记 level[v] 为 $s$ 到 $v$ 的最少弧数；若 level[t] < 0，由增广路定理当前流即最大流，返回。
DFS 推阻塞流：只保留满足 level[v] == level[u] + 1 的弧，在这张分层图上反复找 $s \to t$ 路并推满，直到图中再也没有这样的路（此时推到的流量叫阻塞流）。
回到第 1 步。

分层带来两个好处：

路径不会绕圈：每条弧层号严格 +1，路长被限制在 $M-1$ 以内；
轮数有界：一轮结束意味着分层图上所有短的路都被堵死，新的最短增广路必须变长，因此 level[t] 每轮严格增大，外层最多 $O(M)$ 轮，与 $C_i$ 的大小无关。

第五步：当前弧与回溯优化

DFS 中如果某条出弧被判定走不通（容量为 $0$ 或层号不接），它在本轮永远不会再走通，用一个指针 it[u] 记住扫到哪，下次从它继续，不再从头扫出边。
递归写法在 Python 中既有栈深风险又慢，代码里用显式栈 path（元素是 (点, 出边号)）模拟：
- 走到汇点后沿 path 扣正弧、加反弧，然后退回到第一条被榨干的弧继续，而不是退回源点重来；
- 走到死路时把该点的 level 置 -1（本轮永久废弃）并弹栈回溯。

下面这张表是用代码里的算法在样例上逐轮打印的真实过程，用来把上面的抽象步骤落到具体数字。

轮次	BFS 得到的 `level`	本轮增广的路径	瓶颈 $\delta$	累计流量
1	`1:0, 2:1, 3:2, 4:1`	$1 \to 4$	20	20
2	`1:0, 2:1, 3:2, 4:2`	$1 \to 2 \to 4$	20	40
3	`1:0, 2:1, 3:2, 4:3`	$1 \to 2 \to 3 \to 4$	10	50

表格每行是一轮：第一列是轮次，第二列是该轮 BFS 得到的分层结果（只列可达点，level 就是它离源点的弧数），第三列是该轮被推的增广路，第四、五列分别是这条路的瓶颈与累加后的总流量。观察重点：

第 1 轮选中的是最短的 $1\to4$ （层差 $1$ ），而不是路长更大的 $1\to2\to3\to4$ ； Dinic 每轮只在意"最短"这一件事。
第 2 轮汇点的层号从 $1$ 变成 $2$ ，直观展示了"最短增广路长度单调递增"，这正是外层最多 $O(M)$ 轮的来源。
第 3 轮之后 $1$ 的两条出弧全部满流、汇点不可达，算法返回 $50$ ；此时进入 $4$ 的三条弧容量和 $20+20+10=50$ 被恰好用满，答案不可能更大。

代码

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 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int NO_EDGE = -1;
const int UNREACHED = -1;

int head[205];
vector<int> to, nxt;
vector<ll> cap;

void add_edge(int u, int v, ll c) {
    to.push_back(v); cap.push_back(c); nxt.push_back(head[u]); head[u] = (int)to.size() - 1;
    to.push_back(u); cap.push_back(0); nxt.push_back(head[v]); head[v] = (int)to.size() - 1;
}

int level[205];

// BFS 分层
bool build_levels(int s, int t, int m) {
    for (int i = 1; i <= m; i++) level[i] = UNREACHED;
    level[s] = 0;
    deque<int> q;
    q.push_back(s);
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop_front();
        int e = head[u];
        while (e != NO_EDGE) {
            int v = to[e];
            if (cap[e] > 0 && level[v] == UNREACHED) {
                level[v] = level[u] + 1;
                q.push_back(v);
            }
            e = nxt[e];
        }
    }
    return level[t] != UNREACHED;
}

// 在当前分层图上推阻塞流
ll blocking_flow(int s, int t) {
    vector<int> it(head, head + 205);
    vector<pair<int, int> > path;   // (点, 走出的弧号)
    ll flow = 0;
    int u = s;
    while (true) {
        if (u == t) {
            ll bottle = 1LL << 60;
            for (size_t i = 0; i < path.size(); i++)
                bottle = min(bottle, cap[path[i].second]);
            for (size_t i = 0; i < path.size(); i++) {
                cap[path[i].second] -= bottle;
                cap[path[i].second ^ 1] += bottle;
            }
            flow += bottle;
            size_t first = 0;
            while (first < path.size() && cap[path[first].second] != 0) first++;
            path.resize(first);
            u = path.empty() ? s : to[path.back().second];
        } else {
            int e = it[u];
            int advance = NO_EDGE;
            while (e != NO_EDGE) {
                int v = to[e];
                if (cap[e] > 0 && level[v] == level[u] + 1) { advance = e; break; }
                e = nxt[e];
            }
            it[u] = e;
            if (advance != NO_EDGE) {
                path.push_back(make_pair(u, advance));
                u = to[advance];
            } else if (path.empty()) {
                break;
            } else {
                level[u] = UNREACHED;
                u = path.back().first;
                path.pop_back();
            }
        }
    }
    return flow;
}

ll max_flow(int s, int t, int m) {
    ll flow = 0;
    while (build_levels(s, t, m)) {
        flow += blocking_flow(s, t);
    }
    return flow;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int s = 1, t = m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) head[i] = NO_EDGE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u, v;
        ll c;
        cin >> u >> v >> c;
        add_edge(u, v, c);
    }
    cout << max_flow(s, t, m) << "\n";
    return 0;
}

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import sys
from collections import deque

NO_EDGE = -1    # 链式前向星：没有下一条弧
UNREACHED = -1  # BFS 分层：本轮还没访问到 / 从 s 到不了


def add_edge(head: list[int], to: list[int], nxt: list[int], cap: list[int],
             u: int, v: int, c: int) -> None:
    """加一条 u->v 容量 c 的弧，紧跟一条容量 0 的反向弧：两条弧编号互为 e ^ 1。

    反向弧的容量表示"这条正向弧上已推了多少水"，走它就等于把水退回去。
    """
    to.append(v)
    cap.append(c)
    nxt.append(head[u])
    head[u] = len(to) - 1
    to.append(u)
    cap.append(0)
    nxt.append(head[v])
    head[v] = len(to) - 1


def build_levels(head: list[int], to: list[int], nxt: list[int], cap: list[int],
                 s: int) -> list[int]:
    """BFS 分层：只沿还有剩余容量的弧走，返回每点离 s 的弧数，够不到记 UNREACHED。"""
    level = [UNREACHED] * len(head)
    level[s] = 0
    queue = deque([s])
    while queue:
        u = queue.popleft()
        e = head[u]
        while e != NO_EDGE:
            v = to[e]
            if cap[e] > 0 and level[v] == UNREACHED:
                level[v] = level[u] + 1
                queue.append(v)
            e = nxt[e]
    return level


def blocking_flow(head: list[int], to: list[int], nxt: list[int], cap: list[int],
                  level: list[int], s: int, t: int) -> int:
    """在当前分层图上推阻塞流：只走层号严格 +1 的弧，直到再也走不到 t，返回流量。

    用显式栈代替递归：栈里存 (点, 从它走出去的弧号)。层号接不上的弧本轮永远接不上，
    由当前弧 it[u] 跳过；某点的出弧全废就把它的层号抹掉，回退时不再进来。
    """
    it = head[:]                           # 当前弧：每条弧走废后本轮不再重扫
    path: list[tuple[int, int]] = []
    flow = 0
    u = s
    while True:
        if u == t:
            bottle = min(cap[e] for _, e in path)
            for _, e in path:
                cap[e] -= bottle
                cap[e ^ 1] += bottle    # 反向弧加容量 = 允许把这段水退回去
            flow += bottle
            # 只退回到第一条被榨干的弧，从那里接着找下一条增广路
            first = next(i for i, (_, e) in enumerate(path) if cap[e] == 0)
            path = path[:first]
            u = to[path[-1][1]] if path else s
        else:
            e, advance = it[u], NO_EDGE
            while e != NO_EDGE:
                v = to[e]
                if cap[e] > 0 and level[v] == level[u] + 1:
                    advance = e            # 分层图上唯一可走的出弧
                    break
                e = nxt[e]
            it[u] = e
            if advance != NO_EDGE:
                path.append((u, advance))
                u = to[advance]
            elif not path:                 # 源点的弧全废，本轮阻塞流已挖空
                break
            else:                          # 死路：抹掉层号并退回上一个点
                level[u] = UNREACHED
                u = path.pop()[0]
    return flow


def max_flow(head: list[int], to: list[int], nxt: list[int], cap: list[int],
             s: int, t: int) -> int:
    """Dinic：反复"分层 + 推阻塞流"，直到残量网络里 t 不可达。"""
    flow = 0
    while True:
        level = build_levels(head, to, nxt, cap, s)
        if level[t] == UNREACHED:          # 无增广路，当前流已是最大流
            return flow
        flow += blocking_flow(head, to, nxt, cap, level, s, t)


def solve() -> None:
    data = iter(map(int, sys.stdin.buffer.read().split()))
    n, m = next(data), next(data)
    s, t = 1, m                             # 交叉点 1 是池塘（源），交叉点 m 是河（汇）

    head = [NO_EDGE] * (m + 1)
    to: list[int] = []
    nxt: list[int] = []
    cap: list[int] = []
    for _ in range(n):
        u, v, c = next(data), next(data), next(data)
        add_edge(head, to, nxt, cap, u, v, c)  # 水只能沿 Si -> Ei 流

    print(max_flow(head, to, nxt, cap, s, t))


if __name__ == "__main__":
    solve()

复杂度

记 $V = M$ 、 $E = N$ ：

BFS 分层一次是 $O(V+E)$ ，外层最多 $O(V)$ 轮（最短增广路长度每轮严格增大，上限 $V-1$ ）；
每轮找阻塞流：当前弧 it[u] 保证每条弧最多被推进或作废一次，而每次成功增广都榨干至少一条弧（所以一轮里增广次数不超过 $E$ ），每次增广回溯不超过 $V$ 条弧，于是单轮是 $O(VE)$ 。

因此总复杂度为 $O(V^2 E)$ ，即一般图 Dinic 的经典上界。本题 $V, E \leqslant 200$ ， $V^2E$ 约 $8\times10^6$ 量级的弧操作上界；实测 10 组真实数据（含 $M=200$ 、 $N=200$ 的点）每组不超过 $0.02$ 秒、峰值内存约 $15$ MB （题面限制 1000 ms / 128 MB），因此没有 TLE / MLE 风险。

空间上只用链式前向星的 $2E$ 条弧与长度 $O(V)$ 的 level、it 数组，即 $O(V+E)$ 。

总结

沟渠的方向就是弧的方向、速率就是容量，问题直接等价于单源单汇最大流，不需要任何额外建模（不同于二分图匹配题要加源汇点）。
关键转弯有两处：一是意识到答案不是一条路，必须允许流量在多条路之间共享；二是允许"撤销"，用反向弧把撤销变成又一次普通的增广。
增广路定理给出了简洁的终止条件；Dinic 用 BFS 分层把每轮从"一条路"升级为"一张分层图上的阻塞流"，使轮数只与点数有关而与容量无关；当前弧 + 显式栈回溯是让它跑得动 Python 的常数优化。
边界情况（ $N=0$ 、容量全 $0$ 、源无出弧、重边、自环、环）都被同一套流程自然覆盖，代码里没有任何特判。