「一本通 1.2 练习 3」灯泡

题目描述

高度 $h$ 的人站在灯泡与墙之间：灯高 $H$ （ $H>h$ ），灯到墙水平距离 $D$ ，人距灯 $x$ ，灯光过人头顶投到地面或墙上形成影子（地面与墙面部分之和）。求影子最大长度，保留三位小数。输入：第一行整数 $T$ ，随后每行三个实数 $H, h, D$ ；输出：每组一行答案。数据范围： $T \le 100$ ， $10^{-2} \le H, h, D \le 10^3$ ， $H-h \ge 10^{-2}$ 。

样例输入 3 / 2 1 0.5 / 2 0.5 3 / 4 3 4（/ 表示换行），样例输出 1.000 / 0.750 / 4.000。

思路

设人距灯 $x$ ，影子长度 $L(x)$ 是单峰函数：光线交点未到墙角（ $x \le x_0=\frac{D(H-h)}{H}$ ）时影子全在地面， $L(x)=\frac{hx}{H-h}$ 单调递增；之后影子爬上墙面， $L(x)=D-x+H-\frac{D(H-h)}{x}$ 是凹函数先增后减。直接在 $[0,D]$ 上三分 $L(x)$ 取最大值，迭代足够多次即可满足精度。

参考代码

Python 版：

python

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38#!/usr/bin/env python3
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# rbook: -> https://rbook.roj.ac.cn  https://rbook2.roj.ac.cn
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# update_at: 2026-07-05 21:47

import sys


def shadow_len(x: float, H: float, h: float, D: float) -> float:
    """计算人距灯泡水平距离为 x 时的总影子长度（地面部分 + 墙面部分）。"""
    split_x = D * (H - h) / H
    return x * h / (H - h) if x <= split_x else D - x + H - D * (H - h) / x


def solve() -> None:
    data = sys.stdin.read().split()
    if not data:
        return
    it = iter(data)
    test_cases = int(next(it))

    for _ in range(test_cases):
        H, h, D = float(next(it)), float(next(it)), float(next(it))
        low, high = 0.0, D
        for _ in range(80):
            m1 = low + (high - low) / 3.0
            m2 = high - (high - low) / 3.0
            if shadow_len(m1, H, h, D) < shadow_len(m2, H, h, D):
                low = m1
            else:
                high = m2
        print(f"{shadow_len(low, H, h, D):.3f}")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 * Author by Rainboy blog: https://rainboylv.com github: https://github.com/rainboylvx
 * rbook: -> https://rbook.roj.ac.cn  https://rbook2.roj.ac.cn
 * rainboy的学习导航网站: https://idx.roj.ac.cn
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 * update_at: 2026-10-05 23:47
 */
// 灯泡影子问题：影子长度是人位置 x 的单峰函数，三分查找求最大值。
#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long ll;

// 全局变量：H 灯高，h 人身高，D 灯到墙的水平距离
double H, h, D;

// 计算人站在距光源 x 处时的影子总长度（地面部分 + 墙面部分）
double shadow_len(double x) {
    // 光线过头顶，与地面交点距光源为 H*x/(H-h)
    if (H * x / (H - h) <= D) {
        // 影子全在地面：交点减去人所在位置
        return h * x / (H - h);
    }
    // 影子爬上墙：地面剩 D-x，墙上的高为 H - D(H-h)/x，加起来
    return D - x + H - D * (H - h) / x;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lf%lf%lf", &H, &h, &D);
        // 三分：每次比较区间两个三等分点，向峰值一侧收缩
        double left = 0.0, right = D;
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            double m1 = left + (right - left) / 3;
            double m2 = right - (right - left) / 3;
            if (shadow_len(m1) < shadow_len(m2))
                left = m1;
            else
                right = m2;
        }
        printf("%.3f\n", shadow_len(left));
    }
    return 0;
}