膨胀的木棍

题目描述

木棍原长 $L$ ，温度变化 $n$ ，热膨胀系数 $C$ 。受热后长度变为 $L'=(1+nC)L$ （保证 $L'\le 1.5L$ ），木棍弯成圆弧，弦仍为原位置线段（长 $L$ ）。输出弧中点到弦的垂直距离，保留三位小数。

输入：三个非负实数 $L,n,C$ 。输出：木棍中心偏移距离。

样例输入：1000 100 0.0001，样例输出：61.329。

思路

由 $r=L'/\theta$ 与弦长公式 $L=2r\sin(\theta/2)$ 消去半径，得方程 $2L'\sin(\theta/2)/\theta=L$ 。左端在 $(0,\pi]$ 严格递减，实数二分求圆心角 $\theta$ ，再代回 $h=r(1-\cos(\theta/2))$ 输出弓形高。

参考代码

Python 版：

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36#!/usr/bin/env python3
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import sys
from math import sin, cos

EPS = 1e-12  # 二分终止精度：角度差小于它就不再细分（与 std.cpp 的 E 一致）


def solve() -> None:
    data = iter(map(float, sys.stdin.buffer.read().split()))
    length, n, c = next(data), next(data), next(data)  # 原长、温度变化、热膨胀系数
    expanded = (1 + n * c) * length  # 受热后的弧长 L'

    # 圆心角 θ 唯一：半径 r = L'/θ，弦长 2r·sin(θ/2)，要求弦长恰等于原长 L。
    # 弦长关于 θ 严格递减（θ→0 时弦→弧长 L'，θ=π 时弦=2L'/π 的最小值），可二分。
    lo, hi = 0.0, 3.15  # 上界取略大于 π 即可覆盖弧长 ≤ 1.5L 的全部情形
    while hi - lo > EPS:
        mid = (lo + hi) / 2
        chord_too_long = 2 * expanded * sin(mid / 2) / mid > length  # 该角度下的弦长
        if chord_too_long:
            lo = mid  # 弦偏长说明还不够弯，角度要变大
        else:
            hi = mid

    # 中心偏移 = 弓形高 = r - r·cos(θ/2)，其中 r = L' / θ
    radius = expanded / hi
    print(f"{radius * (1 - cos(hi / 2)):.3f}")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const double EPS = 1e-12; // 二分终止精度，远超三位小数输出要求

double L, n, C;  // 木棍原长、温度变化、热膨胀系数

// 输入为一个浮点数序列，直接读入即可。
void read_input() {
    cin >> L >> n >> C;
}

// 核心：弧长 L' = (1+n*C)*L 固定，弦长 = L 固定，圆心角 θ 唯一。
// 由 r = L'/θ 与 L = 2*r*sin(θ/2) 消去 r，得到方程 2*L'*sin(θ/2)/θ = L。
// 左端在 (0,π] 严格递减，且 g(0+) = L' ≥ L，g(π) < L，故可二分 θ。
void solve() {
    double expanded = (1.0 + n * C) * L; // 受热后的弧长 L'

    double lo = 0.0, hi = 3.15; // 上界略大于 π 即可
    while (hi - lo > EPS) {
        double mid = (lo + hi) / 2.0;
        double chord = 2.0 * expanded * sin(mid / 2.0) / mid; // 当前 θ 对应的弦长
        if (chord > L) {
            lo = mid; // 弦偏长 => 还不够弯 => 角度调大
        } else {
            hi = mid; // 弦偏短/相等 => 角度调小
        }
    }

    double theta = hi;            // 最终圆心角
    double radius = expanded / theta; // 半径 r = L'/θ
    double h = radius * (1.0 - cos(theta / 2.0)); // 弓形高 = r - r*cos(θ/2)

    cout << fixed << setprecision(3) << h << "\n";
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    read_input();
    solve();

    return 0;
}

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