二分法求函数的零点

题目描述

有函数 $f(x)=x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-121$ 。已知 $f(1.5)>0$ 、 $f(2.4)<0$ ，且方程 $f(x)=0$ 在区间 $[1.5,2.4]$ 内有且只有一个根，请用二分法求出该根。

输入：无。输出：该根，四舍五入到小数点后 $6$ 位（精确值为 $1.8490158267\ldots$ ）。

思路

五次方程没有求根公式，但题面给出的"端点异号 + 区间内唯一根"正是二分法的全部前提：全程保持 $f(left)>0>f(right)$ ，每轮取中点只看 $f(mid)$ 的符号决定丢弃哪一半区间，根永远不会丢。停止条件直接写在区间宽度上（right-left > 1e-12），每轮减半，40 轮后区间宽约 $8\times10^{-13}$ ，取中点输出即可保证 $6$ 位小数正确；求值用秦九韶形式减少浮点误差。

参考代码

Python 版：

python

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31#!/usr/bin/env python3
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LEFT = 1.5    # 题面保证 f(LEFT) > 0
RIGHT = 2.4   # 题面保证 f(RIGHT) < 0
EPS = 1e-12   # 区间宽度缩到 1e-12，比要求的 1e-6 精度小 6 个数量级


def f(x: float) -> float:
    """题面函数 f(x) 在 x 处的取值，用秦九韶（Horner）形式求值。"""
    return ((((x - 15) * x + 85) * x - 225) * x + 274) * x - 121


def solve() -> None:
    """在唯一零点已知所在区间上二分，输出四舍五入到 6 位小数的根。"""
    left, right = LEFT, RIGHT  # 不变量：f(left) > 0 且 f(right) < 0，零点始终被区间夹住
    while right - left > EPS:
        mid = (left + right) / 2
        if f(mid) > 0:
            left = mid   # 中点为正当，零点落在右半段
        else:
            right = mid  # 中点为负，零点落在左半段
    print(f"{(left + right) / 2:.6f}")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 */
#include <cstdio>

// 用秦九韶（Horner）形式计算 f(x)，只需常数次乘加，避免高次幂的浮点误差放大
double f(double x) {
    return ((((x - 15) * x + 85) * x - 225) * x + 274) * x - 121;
}

int main() {
    // 题面保证 f(1.5) > 0 > f(2.4)，且区间内有唯一根，直接以此为初始区间
    double left = 1.5, right = 2.4;

    // 终止条件写在区间宽度上：每轮减半，40 轮后区间宽 < 1e-12，
    // 取中点误差 <= 5e-13，远小于 6 位小数要求的 5e-7
    const double EPS = 1e-12;
    while (right - left > EPS) {
        double mid = (left + right) / 2;
        if (f(mid) > 0)
            left = mid; // f(mid) > 0：中点在根左侧，保留右半区间
        else
            right = mid; // f(mid) <= 0：中点越过根，保留左半区间
    }

    printf("%.6f\n", (left + right) / 2);
    return 0;
}

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