一元三次方程求解

题目描述

给定实系数 $a,b,c,d$ ，求解方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 。约定存在三个不同实根，根在 $[-100,100]$ 内且任意两根之差的绝对值 $\geqslant 1$ 。输入一行四个实数，输出一行三个实根，按从小到大顺序，精确到小数点后 $2$ 位。

思路

根都是两位小数，因此在 $[-100,100]$ 上以 $0.01$ 为步长从左到右扫描，用秦九韶形式计算 $f(x)$ ，遇到 $|f(x)|\leqslant 10^{-5}$ 即记录为根并继续向右找下一个。根间距 $\geqslant 1$ 保证不会漏或重。

参考代码

Python 版：

python

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34#!/usr/bin/env python3
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import sys

EPS = 1e-5  # 判根阈值：网格点处 |f(x)| ≤ 1e-5 即认为是根（与评测参考实现一致）


def solve() -> None:
    a, b, c, d = map(float, sys.stdin.buffer.read().split())

    def f(x: float) -> float:
        """方程左端 ax^3+bx^2+cx+d 在 x 处的取值（秦九韶形式）。"""
        return ((a * x + b) * x + c) * x + d

    roots: list[float] = []
    x = -100.0
    for _ in range(3):  # 依次找最小、次小、最大的根
        while x - 100 <= EPS:  # 网格从 -100 扫到 100（含端点，与参考实现一致）
            if abs(f(x)) <= EPS:
                break  # 命中一个根：根是两位小数且两两之差 ≥ 1，步长 0.01 必能扫到
            x += 0.01
        roots.append(x)  # 命中的网格点；若数据不满足"三个实根"约定则与参考实现同样扫到界外
        x += 0.01  # 跳过当前根所在的网格点，继续找下一个根

    print(' '.join(f'{r:.2f}' for r in roots))


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 */

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

const double EPS = 1e-5; // 判根阈值：|f(x)| ≤ 1e-5 即认为是根

double a, b, c, d; // 一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的系数

// 秦九韶形式求多项式在 x 处的取值
inline double f(double x) {
    return ((a * x + b) * x + c) * x + d;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> a >> b >> c >> d;

    double x = -100.0; // 从区间左端点开始，以 0.01 为步长向右扫描
    for (ll i = 0; i < 3; ++i) { // 依次找出三个根
        while (x - 100.0 <= EPS) {
            if (fabs(f(x)) <= EPS) {
                break; // 命中一个网格点根
            }
            x += 0.01;
        }
        double root = round(x * 100.0) / 100.0; // 把浮点误差拉回两位小数网格点
        if (i > 0) {
            cout << ' ';
        }
        cout << fixed << setprecision(2) << root;
        x += 0.01; // 跳过当前根所在网格点，继续寻找下一个根
    }
    cout << '\n';

    return 0;
}

一元三次方程求解

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参考代码