求f(x,n)

题目描述

求 $n$ 层嵌套根式 $f(x,n) = \sqrt{n + \sqrt{(n-1) + \sqrt{\cdots + 2 + \sqrt{1+x}}}}$ ，最内层是 $\sqrt{1+x}$ 。输入一行 x n，输出 $f(x,n)$ 保留两位小数。样例：输入 4.2 10，输出 3.68。

思路

令 $g_1=\sqrt{1+x}$ ， $g_k=\sqrt{k+g_{k-1}}$ ，答案就是 $g_n$ 。用一个变量从 $g_1$ 开始，循环 $n-1$ 次执行 g = sqrt(k + g)（ $k$ 从 2 递增到 $n$ ），循环方向必须内→外。末尾用 printf("%.2f") 完成四舍五入与固定两位补零。

参考代码

Python 版：

python

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24#!/usr/bin/env python3
# Author by Rainboy blog: https://rainboylv.com github: https://github.com/rainboylvx
# rbook: -> https://rbook.roj.ac.cn  https://rbook2.roj.ac.cn
# rainboy的学习导航网站: https://idx.roj.ac.cn
# create_at: 2026-09-29 21:39
# update_at: 2026-09-29 21:39

import sys
from math import sqrt


def solve() -> None:
    """读入 x 与嵌套层数 n，按内层到外层展开 f(x,n) 并保留两位小数。"""
    x, n = map(float, sys.stdin.buffer.read().split())

    total = sqrt(1 + x)  # 最内层 f(x,1) = sqrt(1+x)，之后每层只看下一层的值
    for k in range(2, int(n) + 1):  # 外层 k 从 2 加到 n，把 sqrt(k + 下一层) 折叠进去
        total = sqrt(k + total)

    print(f"{total:.2f}")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

cpp

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32/**
 * Author by Rainboy blog: https://rainboylv.com github: https://github.com/rainboylvx
 * rbook: -> https://rbook.roj.ac.cn  https://rbook2.roj.ac.cn
 * rainboy的学习导航网站: https://idx.roj.ac.cn
 * create_at: 2026-10-05 04:06
 * update_at: 2026-10-05 04:06
 */

// 求 f(x,n) = sqrt(n + sqrt(n-1 + ... + sqrt(2 + sqrt(1+x)))) 的值。
// 把嵌套根式看成递推 g_1 = sqrt(1+x)、g_k = sqrt(k + g_{k-1})，
// 从内层向外层一次循环折叠，O(n) 时间 O(1) 空间，保留两位小数输出。

#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long ll;

double x;     // 嵌套根式中的实数
ll n_layer;   // 嵌套层数

int main() {
    scanf("%lf %lld", &x, &n_layer);

    double total = sqrt(1.0 + x); // 最内层 g_1 = sqrt(1+x)
    // 从第 2 层折到第 n_layer 层，每层把层号 k 加进根号再开方
    for (ll k = 2; k <= n_layer; k++) {
        total = sqrt(k + total); // ll 与 double 相加自动提升为 double
    }

    printf("%.2f\n", total);
    return 0;
}

目录

题目描述

思路

参考代码