Hermite多项式

题目描述

用递归的方法求 Hermite 多项式的值：

h_n(x)=\begin{cases}1 & n=0 \\ 2x & n=1 \\ 2x h_{n-1}(x)-2(n-1)h_{n-2}(x) & n>1\end{cases}

给定正整数 $n$ 和整数 $x$ ，求 $h_n(x)$ 的值。数据范围 $1 \le n \le 10$ ， $1 \le x \le 10$ 。

输入：两个数 $n$ 和 $x$ 。输出：多项式的值，保留两位小数。

样例输入：1 2，样例输出：4.00。

思路

按递推式递归计算，用 memo 数组记录每个 $h_k(x)$ 避免重复子问题。结果必为整数，直接补 .00 输出即可避开浮点误差。

参考代码

Python 版：

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29#!/usr/bin/env python3
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import sys
from functools import cache


@cache
def hermite(n: int, x: int) -> int:
    """返回 Hermite 多项式的值 h_n(x)，由 h_0=1、h_1=2x 两条边界递推。"""
    if n < 2:
        return 1 if n == 0 else 2 * x
    return 2 * x * hermite(n - 1, x) - 2 * (n - 1) * hermite(n - 2, x)


def solve() -> None:
    n, x = map(int, sys.stdin.buffer.read().split())
    value = hermite(n, x)
    # 输出恰好两位小数：x 是整数，h_n(x) 必为整数，拼接 ".00" 即可。
    # 不用 f"{value:.2f}"，那会先转成 float，大整数时会丢掉低位数字。
    print(f"{value}.00")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 */
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, x;

// 记忆化数组：memo[i] 表示 h_i(x) 的值，0 表示尚未计算。
// 本题 n <= 10，用 ll 足够。
ll memo[15];

// 按题面二阶递推式递归求 Hermite 多项式 h_n(x)
ll hermite(ll k) {
    if (memo[k] != 0) return memo[k];
    if (k == 0) return memo[k] = 1;
    if (k == 1) return memo[k] = 2 * x;
    return memo[k] = 2 * x * hermite(k - 1) - 2 * (k - 1) * hermite(k - 2);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> x;
    ll ans = hermite(n);
    // 结果必为整数，按要求补两位小数输出，避免浮点精度问题。
    cout << ans << ".00" << endl;
    return 0;
}

目录

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思路

参考代码