求π的值

题目描述

利用 $\arctanx(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ 和恒等式 $\pi = 6\arctanx(\frac{1}{\sqrt 3})$ ，逐项累加级数求 $\arctanx(\frac{1}{\sqrt 3})$ ：当最后一项的绝对值小于 $10^{-6}$ 时停止，把部分和乘 $6$ 得到 $\pi$ 的近似值。

输入：无。
输出： $\pi$ 的值，保留到小数点后 $10$ 位。

思路

相邻两项的分子比值恒为 $-x^2$ ，一个乘法同时完成升幂和变号；分母从 $1$ 起每次加 $2$ 。停止条件要比较含分母系数的整项 $\left|\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right|$ （而非分子），首次小于 $10^{-6}$ 的那一项不再累加，最后乘 $6$ 输出 $10$ 位小数。

参考代码

Python 版：

python

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30#!/usr/bin/env python3
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import math

EPS = 1e-6  # 最后一项绝对值小于该阈值就停止累加


def arctanx(x: float) -> float:
    """交错级数求 arctan(x)：逐项累加，直到下一项绝对值 < EPS。"""
    term = x  # 当前项 x^(2k+1)，由上一项乘 -x^2 递推
    total = 0.0
    for i in range(1, 10**9, 2):
        if abs(term / i) < EPS:  # 该项已小于阈值，成为"最后一项"，不再累加
            break
        total += term / i
        term *= -x * x  # 分子乘 -x² 得到下一项
    return total


def solve() -> None:
    print(f"{6 * arctanx(1 / math.sqrt(3)):.10f}")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

cpp

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 * rainboy的学习导航网站: https://idx.roj.ac.cn
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 */
// main.cpp：用格雷戈里级数在 x=1/sqrt(3) 处求 arctan(x)，乘 6 得 π 的近似值。

#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long ll;

const double EPS = 1e-6; // 最后一项绝对值小于该阈值就停止累加

// 用交错级数求 arctan(x)：分子每步乘 -x^2 递推，分母取奇数
double arctanx(double x) {
    double term = x;   // 当前项的分子 x^(2k+1)，符号并入因子 -x^2
    double total = 0;  // 部分和
    double up = -x * x; // 相邻两项分子的比值 -x^2
    for (ll i = 1; ; i += 2) {
        if (fabs(term / i) < EPS) // 整项（含分母系数）小于阈值，停止
            break;
        total += term / i;
        term *= up; // 下一项分子：升幂同时变号
    }
    return total;
}

int main() {
    printf("%.10f\n", 6 * arctanx(1 / sqrt(3.0)));
    return 0;
}

目录

题目描述

思路

参考代码