不定方程求解

题目描述

给定正整数 $a, b, c$ ，求不定方程 $ax + by = c$ 关于未知数 $x$ 和 $y$ 的所有非负整数解组数。

输入：一行三个正整数 $a, b, c$ （每个 $\leqslant 1000$ ），空格分隔。

输出：一个整数，即非负整数解的组数。

样例输入：2 3 18　　样例输出：4

思路

固定 $x$ 后 $y = (c - ax)/b$ 被唯一确定，故只需枚举 $x \in [0, \lfloor c/a \rfloor]$ ，逐个判 $(c - ax) \bmod b = 0$ ，成立即贡献一组解；总枚举量 $\leqslant 1001$ ，时间复杂度 $O(c/a)$ 。

参考代码

Python 版：

python

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19#!/usr/bin/env python3
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import sys


def solve() -> None:
    a, b, c = map(int, sys.stdin.buffer.read().split())

    # x 上界是 c//a：再大则 a*x > c，y 无非负解；枚举每个 x，余数 (c-a*x) 整除 b 即有一解
    print(sum((c - a * x) % b == 0 for x in range(c // a + 1)))


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 */
// main.cpp：不定方程 ax+by=c 的非负整数解计数（roj 1101）。
// 做法：固定 x 在 [0, c/a] 范围枚举，每个 x 唯一决定 y=(c-a*x)/b，
// 当且仅当 (c-a*x) >= 0 且被 b 整除时贡献一组解。

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll a, b, c;   // 方程系数 a, b, c
ll ans;       // 非负整数解计数

int main() {
    // 读入 a, b, c
    scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &c);

    // 枚举 x 从 0 到 c/a：超过此范围则 a*x > c，没有合法非负 y
    for (ll x = 0; x <= c / a; ++x) {
        ll rest = c - a * x;
        // 余数 (c - a*x) 必须能被 b 整除才给出整数 y，且 y = rest / b >= 0 自动成立
        if (rest % b == 0) {
            ++ans;
        }
    }

    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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