求分数序列和

题目描述

分数序列满足 $q_1=2$ ， $p_1=1$ ， $q_{i+1}=q_i+p_i$ ， $p_{i+1}=q_i$ 。给定 $n\ (n\le 30)$ ，求前 $n$ 项 $\frac{q_i}{p_i}$ 之和，保留 4 位小数（输入一行 $n$ ，输出一行浮点数）。

样例输入 2，样例输出 3.5000。

思路

只需维护当前项的分母 $p$ 、分子 $q$ ：每轮先累加 $q/p$ ，再用临时变量把 $(p,q)$ 更新为 $(q,\,p+q)$ ，迭代 $n$ 次即可。

参考代码

Python 版：

python

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27#!/usr/bin/env python3
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# update_at: 2026-09-29 17:50

import sys
from collections.abc import Iterator


def fraction_terms(n: int) -> Iterator[float]:
    """依次产出分数序列的前 n 项：分母接上一项的分子，新分子是两者之和。"""
    p, q = 1, 2  # p_1 = 1，q_1 = 2
    for _ in range(n):
        yield q / p
        p, q = q, p + q  # 下一项的分母换成当前项的分子


def solve() -> None:
    data = iter(map(int, sys.stdin.buffer.read().split()))
    n = next(data)  # 求和的项数
    print(f"{sum(fraction_terms(n)):.4f}")


if __name__ == "__main__":
    solve()

C++ 版（同一算法）：

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 * create_at: 2026-10-05 00:20
 * update_at: 2026-10-05 00:20
 */
// main.cpp：按递推式生成分数序列的前 n 项并求和，保留 4 位小数。
#include <cstdio>

typedef long long ll;

int main() {
    ll n;
    if (scanf("%lld", &n) != 1) {
        return 0;
    }

    ll p = 1;    // 当前项的分母 p_i，初始 p_1 = 1
    ll q = 2;    // 当前项的分子 q_i，初始 q_1 = 2
    double sum = 0.0;
    for (ll i = 1; i <= n; i++) {
        sum += 1.0 * q / p; // 累加第 i 项 q_i / p_i
        ll nextq = q + p;   // 下一项的分子 = 当前项分子 + 当前项分母
        p = q;              // 下一项的分母 = 当前项分子
        q = nextq;
    }
    printf("%.4f\n", sum);
    return 0;
}

目录

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思路

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