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把五档宇宙速度门槛收进数组，数出速度 v 达标的档数 k，再输出数字前缀串 12...k，k 为 0 时输出 0。

通过一次遍历找出二维网格中所有整数的最大值与最小值，计算两者之差即为玉米杆高度差。

线性 DP 计数：按前缀末位性别转移，以牝牛结尾等于总方案数，以牡牛结尾回看 K+1 位之前的总方案数，O(N) 递推取模。

巴什博弈：每步可取 1~K 颗，先手必胜当且仅当 N 不是 K+1 的倍数，O(1) 判定。

二项式定理一步到位：x^n y^m 项系数 = C(k,n)·a^n·b^m mod 10007，组合数 + 快速幂即可。

把三个周期高峰同天写成同余方程组，用中国剩余定理（CRT）求出周期 23×28×33=21252 内的唯一解，再对给定时间做环形减法得到下一次同天的距离。

加权 Fibonacci 和有封闭形式 T(n)=nF(n+2)-F(n+3)+2，先用快速倍增 O(log n) 求出相邻 Fibonacci 对，再一代入公式。

按矩阵乘法定义，三重循环直接计算结果矩阵每个元素。

用扩展欧几里得求 ax + by = 1 的特解，再把 x 取模调到最小正整数解。

辗转相除法求千位大整数的 gcd：手写高精度大整数取模，C++ 实现欧几里得算法。

n 恰为两个不同质数之积，较小质因数必不超过 √n，从 2 试除到 ⌊√n⌋ 命中后用 n 除以它即得较大质数。

欧拉筛预处理素数表，每次询问贪心取最小的奇素数 a，并 O(1) 判断 n - a 是否为素数。

指数 b 可达 10^9，用二进制拆分把 a^b 化成若干 a^(2^k) 之积再相乘，Python 三参数 pow 一步完成 O(log b) 模幂。

判型后套用通项：等差 O(1)，等比用快速幂 O(log k)。

每轮相当于全体位置编号 +m (mod n)，用快速幂求 m·10^k mod n，一步算出答案。

把每行压成不超过 48 个合法行状态，按逐列不同色的相容表逐行滚动递推，被固定的第 K 行把计数劈成上下独立两半再相乘。

区间计数先化成前缀计数 f(x)，再用 (位置, 是否贴上界, 前一位是否为 6) 三元组状态的记忆化数位 DP 逐位统计不含 4 与 62 的数。

单调队列求滑动窗口最值：队尾淘汰被新元素支配的下标、队首弹出过期下标，队首即窗口答案，两遍 O(N) 扫描输出最小值行与最大值行。

单点加与区间求和交替：树状数组按 lowbit 把前缀和拆成 O(log n) 段，查询两次前缀和相减、修改沿链上跳，初值正序推贡献 O(n) 建树，总 O(n + m log n)。

把人事关系看成一棵树，每个节点记录选与不选两种最优值，自底向上合并，O(N) 求最大欢乐度。

真约数和小于自身就与它连一条无向边，可证建出的图是森林：最多变换步数就是树的直径，筛法建图后每棵树两次 BFS 求直径取最大。

二叉树树形背包：枚举左右子树各保留多少条边完成状态转移。

查询位置单调递增，用一个只前进的指针维护前缀和：走过车厢时累加，未到车厢的上下车直接改状态，总复杂度 O(n+k)。

动态区间相交计数化归为两个端点前缀计数：答案 = 左端点 ≤ r 的段数 − 右端点 < l 的段数，两棵树状数组在线维护，O(m log n)。

两个单调队列分别维护窗口最值候选：队尾淘汰被新元素支配的下标、队首弹出过期下标，每个元素进出各一次，O(n) 求出全部滑动窗口的最大值与最小值。

把“每条 a 到 b 的路径都经过 v”转成删除判据：删掉 v 后 a 到不了 b 即为必经点，逐点做一次 DFS 连通性判定，取编号最小者。

并查集维护无向图连通块，统计每个含边连通块中奇度顶点的数量，计算最少一笔画覆盖数。

利用输入按 y 增序给出的特性将二维偏序降维，使用树状数组维护横坐标前缀和统计星星等级

单点加与区间求和交替：树状数组按 lowbit 把前缀和拆成 O(log n) 段，修改沿链更新、查询两次前缀和相减，O(n + m log n)。

将卫星设备等价于免费边连接连通块，利用 Kruskal 最小生成树消去最大边权求瓶颈距离

把小路拆成双向正权边、虫洞取负权，把“回到过去”化为负环判定：超级源点做 n 轮松弛，第 n 轮仍能松弛即输出 YES。

将数字串按字典序排序后只需检查相邻两串是否为前缀关系，即可判定集合是否可立即解码。

引入超级源点，把「建电站费用」和「拉电网费用」统一成边权，在 n+1 个点的完全图上求最小生成树即得最小总花费。

排序后只需检查相邻两串：字典序下前缀对必紧贴，一趟 sort 加相邻前缀判定即可。

用 KMP 匹配模式串，每次匹配成功立即计数并清零匹配指针，保证子串互不重叠。

用 KMP 失败函数求最长 border，最小正周期 p = n - pi[n-1]；p 整除 n 时答案为 n/p，否则为 1。

哈希表记录雪花形状最近出现位置，双指针滑动窗口 O(n) 求最长无重复连续子序列

用 unordered_set 维护图书集合，add 插入，find 查询。

KMP 单趟扫描统计模式串在文本中（可重叠）出现的次数：fail 数组预处理 + 主串扫一遍，均摊 O(|s1|+|s2|)。

通过奇偶性判断与前缀字符串哈希 O(1) 拼接比较，枚举删除位置求出唯一的原字符串

把 4×4 棋盘编码成 16 位掩码，相邻异色交换即两位同时翻转，在有限状态上跑 BFS 求最少步数。

将棋盘格子建为无权图，利用 BFS 逐层扩展求骑士从起点到终点的最少移动步数。

8 邻接等权连通块洪泛，每块只记录外部邻居有无更矮/更高者：无更高即山峰，无更矮即山谷，O(n²)。

将 4x4 网格的 01 状态压缩为 16 位整数，BFS 搜索最少交换步数。

整数划分计数 DP：设 f[i][j] 为 i 拆成 j 个不减正整数之和的方案数，按末份是否为 1 转移，O(nk) 递推。

状态只有 8! 个，把每个排列看作节点、A/B/C 三种操作看作边，从基本状态 12345678 BFS，邻居按 A→B→C 顺序扩展且只在首达时记前驱，回溯即得字典序最小的最短操作序列。

将矩形贴合拓扑依赖抽象为位掩码先决条件，使用状态压缩记忆化搜索结合同色贪心涂满求最少拿起刷子次数。

根据相似三角形建立人位置到影子长度的分段单峰函数，利用三分查找求最大影子长度。

枚举最远走到哪个湖定下路程，剩余 5 分钟段用小根堆反复取当前产量最高的湖，O(n·12H·log n) 求最大收获。

按右端点排序后贪心选取互不重合的线段，O(n log n) 求解区间调度。

把「最大的最小间距」转成单调可行性判定，用 O(N) 贪心判定给定间距能否放下 C 头牛，再在答案值域上二分。

按原序列顺序贪心累加，当前段和超过上限时另起一段，单次线性扫描求得最少分段数。

贪心加堆：每次合并最小的两个数得 max，取负后每次合并最大的两个数得 min，两遍小根堆后作差，O(N log N)。

圆覆盖转中心线有效区间后，按左端点排序并反复选左端不超过当前覆盖点、右端最远的区间贪心覆盖。

按区间右端点升序排序，区间缺树时贪心靠右侧放置以最大化后续重叠复用。

反悔贪心：按期限排序逐个安排，堆里存已安排游戏的扣款数，放不下就弹出扣款最小的（记为超期），未被安排的扣款总和最小即最优。

埃氏筛一次性建出整个值域的素数表，区间内每个数 O(1) 查自身与反序数的素性，逗号拼接输出，无解输出 No。

通过二进制位统计枚举 1~1000 内数字并分类为 A 类数与 B 类数。

按活动结束时间升序排序后贪心选取互不冲突的区间，求最大兼容活动数。

从小到大枚举进制 B（2~40），检查三个数的每一位数字是否合法并用 Horner 展开求值，第一个满足 p×q=r 的 B 即答案。