Non-Transitive Dice

题意

给定两个 4 面骰子 A 和 B。

要求判断是否存在一个 4 面骰子 C，使得三个骰子形成非传递关系：每个骰子都能击败另一个骰子，也会输给另一个骰子。

每个骰子的面值都必须在 $1 \dots 10$ 。

思路

先看一个选择序列风格的暴力：

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 */
// brute.cpp：小数据暴力解，用来帮助理解题意并辅助对拍。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dice_a[4], dice_b[4], dice_c[4];
bool found_answer;

bool beats(int x[], int y[]) {
    int win = 0;
    int lose = 0;

    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        for (int j = 0; j < 4; j++) {
            if (x[i] > y[j]) {
                win++;
            }
            if (x[i] < y[j]) {
                lose++;
            }
        }
    }

    return win > lose;
}

bool check_non_transitive() {
    if (beats(dice_a, dice_b) && beats(dice_b, dice_c) && beats(dice_c, dice_a)) {
        return true;
    }
    if (beats(dice_b, dice_a) && beats(dice_a, dice_c) && beats(dice_c, dice_b)) {
        return true;
    }
    return false;
}

// 第 pos 层选择第三个骰子的第 pos 个面。
void dfs_choose_face(int pos) {
    if (found_answer) {
        return;
    }
    if (pos == 4) {
        if (check_non_transitive()) {
            found_answer = true;
        }
        return;
    }

    for (int value = 1; value <= 10; value++) {
        dice_c[pos] = value;
        dfs_choose_face(pos + 1);
    }
}

bool solve_case() {
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        cin >> dice_a[i];
    }
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        cin >> dice_b[i];
    }

    found_answer = false;
    dfs_choose_face(0);
    return found_answer;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (solve_case()) {
            cout << "yes\n";
        } else {
            cout << "no\n";
        }
    }

    return 0;
}

这个暴力把第三个骰子的 4 个面看成 4 层选择，每层枚举 $1 \dots 10$ 。生成完整的 C 后，再检查 A,B,C 是否形成循环胜负。

由于 C 的可能数量只有：

10^4 = 10000

所以这个枚举规模很小，可以直接作为满分做法。

判断骰子 X 是否击败骰子 Y 时，枚举所有 16 对面值：

若 X 的点数更大，win++；
若 X 的点数更小，lose++；
相等时重掷，不计入胜负。

如果 win > lose，则 X 击败 Y。

对每个候选骰子 C，检查两种循环方向：

text

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2A beats B, B beats C, C beats A
B beats A, A beats C, C beats B

只要有一种成立，就输出 yes。

代码

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 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dice_a[4], dice_b[4], dice_c[4];

bool beats(int x[], int y[]) {
    int win = 0;
    int lose = 0;

    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        for (int j = 0; j < 4; j++) {
            if (x[i] > y[j]) {
                win++;
            }
            if (x[i] < y[j]) {
                lose++;
            }
        }
    }

    return win > lose;
}

bool check_non_transitive() {
    if (beats(dice_a, dice_b) && beats(dice_b, dice_c) && beats(dice_c, dice_a)) {
        return true;
    }
    if (beats(dice_b, dice_a) && beats(dice_a, dice_c) && beats(dice_c, dice_b)) {
        return true;
    }
    return false;
}

bool solve_case() {
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        cin >> dice_a[i];
    }
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        cin >> dice_b[i];
    }

    for (int a = 1; a <= 10; a++) {
        dice_c[0] = a;
        for (int b = 1; b <= 10; b++) {
            dice_c[1] = b;
            for (int c = 1; c <= 10; c++) {
                dice_c[2] = c;
                for (int d = 1; d <= 10; d++) {
                    dice_c[3] = d;
                    if (check_non_transitive()) {
                        return true;
                    }
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (solve_case()) {
            cout << "yes\n";
        } else {
            cout << "no\n";
        }
    }

    return 0;
}

复杂度

每组数据枚举 $10^4$ 个骰子，每次检查是常数规模。

时间复杂度为 $O(10^4)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ 。

总结

本题的关键是看到第三个骰子的搜索空间很小。

直接枚举所有可能骰子，再用 16 对面值比较判断胜负关系，就能稳定解决。

目录

题意

思路

代码

复杂度

总结