Clock Tree

题意

给定一棵树，每个点上有一个 $1 \dots 12$ 的时钟。

Bessie 选择一个起点。起点一开始不会被拨动；之后每次进入一个房间，这个房间的时钟加 1。问有多少个起点，使得存在某条行走路线，最后所有时钟都指向 12。

思路

先看一个按起点枚举的判断方式：

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 */
// brute.cpp：小数据暴力解，用来帮助理解题意并辅助对拍。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 105;

int n;
int clock_val[MAXN];
vector<int> g[MAXN];
int depth_parity[MAXN];

void dfs_depth(int u, int father, int dep) {
    depth_parity[u] = dep & 1;
    for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
        int v = g[u][i];
        if (v == father) continue;
        dfs_depth(v, u, dep + 1);
    }
}

bool can_start(int root) {
    dfs_depth(root, 0, 0);

    int q = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (depth_parity[i] == 0) {
            q += clock_val[i];
        } else {
            q -= clock_val[i];
        }
    }
    q %= 12;
    if (q < 0) q += 12;

    return q == 0 || q == 1;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> clock_val[i];
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    int ans = 0;
    for (int root = 1; root <= n; root++) {
        if (can_start(root)) ans++;
    }

    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

固定一个起点后，把所有点按“到起点距离的奇偶”分成两类：

text

1
2even_sum = 偶数距离点的时钟和
odd_sum  = 奇数距离点的时钟和

定义：

text

1q = even_sum - odd_sum (mod 12)

官方解析证明：这个起点可行，当且仅当 q 是 0 或 1。

树本身可以二染色。任选 1 号点为根染色：

颜色 0：距离 1 号点为偶数；
颜色 1：距离 1 号点为奇数。

如果起点在颜色 0，那么“到起点距离偶数”的点仍然是颜色 0，“奇数”的点是颜色 1。

如果起点在颜色 1，这两类会交换。

所以同一颜色里的所有起点可行性相同。只需要统计两种颜色的点数和时钟和。

设：

text

1
2s0 = 颜色 0 的时钟和 mod 12
s1 = 颜色 1 的时钟和 mod 12

判断表如下：

条件	可行起点
$s0 == s1$	所有点
$(s0 + 1) % 12 == s1$	颜色 1 的点
$s0 == (s1 + 1) % 12$	颜色 0 的点
其它	没有点

代码

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 * update_at: 2026-07-11 21:33
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 2505;

int n;
int clock_val[MAXN];
vector<int> g[MAXN];
int color[MAXN];
int cnt[2];
int sum_clock[2];

void dfs_color(int u, int father, int c) {
    color[u] = c;
    cnt[c]++;
    sum_clock[c] += clock_val[u];

    for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
        int v = g[u][i];
        if (v == father) continue;
        dfs_color(v, u, c ^ 1);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> clock_val[i];
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    dfs_color(1, 0, 0);

    int s0 = sum_clock[0] % 12;
    int s1 = sum_clock[1] % 12;

    if (s0 == s1) {
        cout << n << '\n';
    } else if ((s0 + 1) % 12 == s1) {
        cout << cnt[1] << '\n';
    } else if (s0 == (s1 + 1) % 12) {
        cout << cnt[0] << '\n';
    } else {
        cout << 0 << '\n';
    }

    return 0;
}

复杂度

只需要一次 DFS。

时间复杂度为 $O(N)$ 。

空间复杂度为 $O(N)$ 。

总结

本题的关键是树的二染色。

起点只分成两类：在颜色 0 或颜色 1。每一类内部的奇偶层划分相同，因此用两侧时钟和的模 12 关系就能直接统计答案。

目录

题意

思路

代码

复杂度

总结