数值积分

形式化题目

给定二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 和整数区间 $[l,r]$ ，令

s=2 \times \sum_{x \text{ 为 } [l,r] \text{ 中偶数}} f(x),

求整数 $s$ 。

思路

直接按题意模拟采样过程，分两步完成。

确定第一个采样点

采样点的横坐标必须是偶数。若 $l$ 是偶数就从 $l$ 开始，否则从 $l+1$ 开始，即先找到区间内第一个偶数 $first$ 。

以步长 2 累加

从 $first$ 开始每次加 $2$ ，枚举所有偶数坐标点，累加函数值 $x^2+bx+c$ 。题目保证 $0 \le l < l+2 \le r \le 1000$ ，点数很少，直接循环即可。最后把累加结果乘以采样间距 $2$ 输出。

代码

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 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    long long b, c, l, r;
    cin >> b >> c >> l >> r;

    // 找到区间内第一个偶数坐标作为采样起点
    long long first = l;
    if (first % 2 != 0) first++;

    // 以步长 2 枚举所有偶数坐标点，累加对应函数值
    long long answer = 0;
    for (long long x = first; x <= r; x += 2) {
        answer += x * x + b * x + c;
    }
    // 估算积分等于函数值之和乘以采样间距 2
    cout << answer * 2 << '\n';

    return 0;
}

复杂度

设区间内偶数点数量为 $k$ ，时间复杂度为 $O(k)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ 。

总结

本题的关键是正确处理第一个偶数采样点，以及相邻采样点之间步长为 $2$ 。用一个 %2 判断起点，再用循环步长 $2$ ，就能完整覆盖所有偶数坐标点。

目录

形式化题目

思路

确定第一个采样点

以步长 2 累加

代码

复杂度

总结