[CSP-S 2020] 儒略日

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以 1582 年换历点分段，把儒略日编号分别反推为儒略历日期或格里高利历日期。

OJ: luogu

题目 ID: P7075

难度:普及+/提高-

标签:模拟数学二分

创建: 2026-07-06 08:42

更新: 2026-10-07 10:45

题意

给出若干个整数儒略日编号 r。

题目规定第 0 天是：

text

1公元前 4713 年 1 月 1 日

要求输出从这一天开始经过 r 天后的日期。

日期规则有一个非常重要的分界点：

1582-10-04 及以前，用儒略历；
1582-10-04 的下一天直接跳到 1582-10-15；
1582-10-15 及以后，用格里高利历；
没有公元 0 年，公元前 1 年的下一年是公元 1 年。

思路

最直接的暴力是从起点开始一天一天往后模拟。

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 */
// brute.cpp：小数据暴力解，逐日模拟从起点向后走 r 天，用来验证换历和公元前输出规则。
// 只适合 r 不太大的对拍场景（r 数万以内），r 大时会超时。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

// 日期结构体，year 用天文年份编号（公元前 4713 年 = -4712）。
struct Date {
    ll year;
    int month;
    int day;
};

int month_days_common[13] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31}; // 每月天数（二月按平年）

// 儒略历闰年：年份能被 4 整除就是闰年。
bool is_julian_leap(ll year) {
    return year % 4 == 0;
}

// 格里高利历闰年：400 的倍数，或 4 的倍数但不是 100 的倍数。
bool is_gregorian_leap(ll year) {
    return year % 400 == 0 || (year % 4 == 0 && year % 100 != 0);
}

// 判断日期 x 是否已进入格里高利历（1582-10-15 及以后）。
bool is_gregorian_date(const Date &x) {
    if (x.year > 1582) {
        return true;
    }
    if (x.year < 1582) {
        return false;
    }
    if (x.month > 10) {
        return true;
    }
    if (x.month < 10) {
        return false;
    }
    return x.day >= 15;
}

// 返回日期 x 所在月份的天数，自动根据日期选择儒略历或格里高利历闰年规则。
int month_days(const Date &x) {
    if (x.month != 2) {
        return month_days_common[x.month];
    }
    if (is_gregorian_date(x)) {
        return is_gregorian_leap(x.year) ? 29 : 28;
    }
    return is_julian_leap(x.year) ? 29 : 28;
}

// 将日期 x 推进一天，特殊处理 1582-10-04 之后直接跳到 10-15。
void next_day(Date &x) {
    if (x.year == 1582 && x.month == 10 && x.day == 4) {
        x.day = 15;
        return;
    }

    x.day++;
    if (x.day > month_days(x)) {
        x.day = 1;
        x.month++;
        if (x.month > 12) {
            x.month = 1;
            x.year++;
        }
    }
}

// 输出日期：year <= 0 时输出「BC」格式，否则输出公元后格式。
void output_date(const Date &x) {
    if (x.year <= 0) {
        cout << x.day << ' ' << x.month << ' ' << 1 - x.year << " BC\n";
    } else {
        cout << x.day << ' ' << x.month << ' ' << x.year << '\n';
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        ll r;
        cin >> r;

        // 从起点 -4712-01-01 开始，逐日走 r 步。
        Date cur;
        cur.year = -4712;
        cur.month = 1;
        cur.day = 1;

        for (ll i = 0; i < r; i++) {
            next_day(cur);
        }
        output_date(cur);
    }

    return 0;
}

这个暴力非常适合检查边界：

公元前年份怎么输出；
1582-10-04 后面是否跳到 1582-10-15；
儒略历和格里高利历的闰年规则是否不同。

但 r 可以非常大，询问也很多，不能逐日模拟。

使用天文年份编号

题目说没有公元 0 年，这对计算很麻烦。

我们内部使用“天文年份编号”：

普通写法	内部年份
公元前 4713 年	`-4712`
公元前 1 年	`0`
公元 1 年	`1`

输出时再转回来：

text

1如果 year <= 0，那么输出 1 - year，并加 BC

这样做的好处是年份可以连续加减。

换历点

先计算：

text

1
2last_julian_day = 1582-10-04 的儒略日编号
first_gregorian_day = last_julian_day + 1

如果 r <= last_julian_day，答案在旧历部分，按儒略历反推。

否则答案在新历部分，先把 r 转成格里高利历里的连续天数，再反推日期。

儒略历部分

起点是天文年份 -4712 的 1 月 1 日。

儒略历闰年规则非常简单：

text

1年份能被 4 整除就是闰年

注意这在天文年份编号下也适用于公元前年份。比如公元前 1 年是内部年份 0，确实是 4 的倍数。

要计算某年某月某日的编号：

text

1完整年份天数 + 当年已经过去的天数

完整年份天数是：

text

1(year - START_YEAR) * 365 + [START_YEAR, year-1] 中 4 的倍数年份个数

因为年份可能为负数，统计 4 的倍数时要使用数学意义上的向下取整除法，不能直接依赖 C++ 对负数除法的截断结果。

格里高利历部分

格里高利历只会用于 1582-10-15 及之后，年份都是正数。

对于公元 1 年以来的格里高利历，某年之前的完整天数为：

text

1
2
3
4(year - 1) * 365
+ (year - 1) / 4
- (year - 1) / 100
+ (year - 1) / 400

这就是“4 年一闰，100 年不闰，400 年又闰”的公式。

我们知道 1582-10-15 对应换历后的第一天，因此：

text

1target = ordinal(1582-10-15) + (r - first_gregorian_day)

然后在格里高利历中找 target 对应的年月日。

如何从天数反推年月日

无论是儒略历还是格里高利历，都可以：

二分找到最大的 year，满足这一年的 1 月 1 日 不晚于目标天数；
用剩余天数从 1 月扫到 12 月；
得到日。

月份只有 12 个，所以直接扫月即可。

关键边界

这几个日期最容易错：

编号含义	日期
`r = 0`	`1 1 4713 BC`
`1582-10-04`	旧历最后一天
`1582-10-15`	新历第一天

中间的：

text

11582-10-05 到 1582-10-14

不存在，不能被输出。

代码

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 * update_at: 2026-10-01 22:23
 */
// main.cpp：把儒略日编号按换历点分段，分别用儒略历/格里高利历反推日期。
// 核心思路：先算出 1582-10-04（旧历最后一天）的编号，再分两段二分找年份、扫月份。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const ll START_YEAR = -4712; // 天文年份编号：公元前 4713 年记为 -4712，公元前 1 年记为 0

int month_days_common[13] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31}; // 每月天数（二月按平年）

// 向下取整除法：C++ 对负数除法是截断，这里保证数学意义上的 floor。
ll floor_div(ll a, ll b) {
    if (a >= 0) {
        return a / b;
    }
    return -((-a + b - 1) / b);
}

// 统计 [left, right] 中能被 4 整除的整数个数（含端点），用 floor_div 处理负数。
ll count_multiple_of_4(ll left, ll right) {
    if (left > right) {
        return 0;
    }
    return floor_div(right, 4) - floor_div(left - 1, 4);
}

// 儒略历闰年：年份能被 4 整除就是闰年（含公元前年份）。
bool is_julian_leap(ll year) {
    return year % 4 == 0;
}

// 格里高利历闰年：400 的倍数，或 4 的倍数但不是 100 的倍数。
bool is_gregorian_leap(ll year) {
    return year % 400 == 0 || (year % 4 == 0 && year % 100 != 0);
}

// 返回某年某月的天数；gregorian 决定用哪套闰年规则。
int month_days(ll year, int month, bool gregorian) {
    if (month != 2) {
        return month_days_common[month];
    }
    if (gregorian) {
        return is_gregorian_leap(year) ? 29 : 28;
    }
    return is_julian_leap(year) ? 29 : 28;
}

// 返回某年某月某日是该年的第几天（从 1 开始）。
int day_of_year(ll year, int month, int day, bool gregorian) {
    int result = day;
    for (int m = 1; m < month; m++) {
        result += month_days(year, m, gregorian);
    }
    return result;
}

// 1582-10-04 及以前：从起点 -4712-01-01 到儒略历 date 的天数（0-based）。
ll julian_serial(ll year, int month, int day) {
    ll years = year - START_YEAR;
    ll leaps = count_multiple_of_4(START_YEAR, year - 1);
    return years * 365 + leaps + day_of_year(year, month, day, false) - 1;
}

// 格里高利历中，从 1-01-01 到 date 的天数（0-based），只对正数年份使用。
ll gregorian_ordinal(ll year, int month, int day) {
    ll y = year - 1;
    ll result = y * 365 + y / 4 - y / 100 + y / 400;
    result += day_of_year(year, month, day, true) - 1;
    return result;
}

// 输出日期：year <= 0 时输出「BC」格式，否则输出公元后格式。
void output_date(ll year, ll month, ll day) {
    if (year <= 0) {
        cout << day << ' ' << month << ' ' << 1 - year << " BC\n";
    } else {
        cout << day << ' ' << month << ' ' << year << '\n';
    }
}

// 对单个儒略日 r，先判断落在旧历还是新历，再二分年份、扫月份输出。
void solve_one(ll r) {
    ll last_julian_day = julian_serial(1582, 10, 4);       // 旧历最后一天
    ll first_gregorian_day = last_julian_day + 1;          // 新历第一天的编号
    ll first_gregorian_ordinal = gregorian_ordinal(1582, 10, 15);

    if (r <= last_julian_day) {
        // 旧历段：二分找年份，再从 1 月扫到 12 月定位月份和日。
        ll left = START_YEAR;
        ll right = 1582;
        while (left < right) {
            ll mid = (left + right + 1) / 2;
            if (julian_serial(mid, 1, 1) <= r) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        ll year = left;
        ll remain = r - julian_serial(year, 1, 1); // 当年已过去的天数
        for (int month = 1; month <= 12; month++) {
            int days = month_days(year, month, false);
            if (remain < days) {
                output_date(year, month, remain + 1);
                return;
            }
            remain -= days;
        }
    } else {
        // 新历段：把编号换算成格里高利历连续天数，再二分找年份。
        ll target = first_gregorian_ordinal + (r - first_gregorian_day);

        ll left = 1582;
        ll right = 2000000000LL;
        while (left < right) {
            ll mid = (left + right + 1) / 2;
            if (gregorian_ordinal(mid, 1, 1) <= target) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        ll year = left;
        ll remain = target - gregorian_ordinal(year, 1, 1);
        for (int month = 1; month <= 12; month++) {
            int days = month_days(year, month, true);
            if (remain < days) {
                output_date(year, month, remain + 1);
                return;
            }
            remain -= days;
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        ll r;
        cin >> r;
        solve_one(r);
    }

    return 0;
}

复杂度

设询问数为 Q。

每次询问二分年份，时间复杂度 $O(log Y)$ ，其中 Y 是答案年份范围；
扫月份是常数 12；
总时间复杂度： $O(Q log Y)$ ；
空间复杂度： $O(1)$ 。

总结

这题不是普通日期模拟，真正的坑有三个：

公元前没有 0 年，内部最好改成连续的天文年份；
1582-10-04 后直接跳到 1582-10-15；
换历前后闰年规则不同。

把时间轴按换历点分成两段后，问题就变成：

text

1天数编号 -> 二分年份 -> 扫月份 -> 输出日期

本文的 main.cpp 已用逐日模拟版 brute.cpp 进行 300 组随机小范围儒略日对拍。

P7075 [CSP-S 2020] 儒略日

题目描述

为了简便计算，天文学家们使用儒略日（Julian day）来表达时间。所谓儒略日，其定义为从公元前 4713 年 1 月 1 日正午 12 点到此后某一时刻间所经过的天数，不满一天者用小数表达。若利用这一天文学历法，则每一个时刻都将被均匀的映射到数轴上，从而得以很方便的计算它们的差值。

现在，给定一个不含小数部分的儒略日，请你帮忙计算出该儒略日（一定是某一天的中午 12 点）所对应的公历日期。

我们现行的公历为格里高利历（Gregorian calendar），它是在公元 1582 年由教皇格里高利十三世在原有的儒略历（Julian calendar）的基础上修改得到的（注：儒略历与儒略日并无直接关系）。具体而言，现行的公历日期按照以下规则计算：

公元 1582 年 10 月 15 日（含）以后：适用格里高利历，每年一月 $31$ 天、二月 $28$ 天或 $29$ 天、三月 $31$ 天、四月 $30$ 天、五月 $31$ 天、六月 $30$ 天、七月 $31$ 天、八月 $31$ 天、九月 $30$ 天、十月 $31$ 天、十一月 $30$ 天、十二月 $31$ 天。其中，闰年的二月为 $29$ 天，平年为 $28$ 天。当年份是 $400$ 的倍数，或日期年份是 $4$ 的倍数但不是 $100$ 的倍数时，该年为闰年。
公元 1582 年 10 月 5 日（含）至 10 月 14 日（含）：不存在，这些日期被删除，该年 10 月 4 日之后为 10 月 15 日。
公元 1582 年 10 月 4 日（含）以前：适用儒略历，每月天数与格里高利历相同，但只要年份是 $4$ 的倍数就是闰年。
尽管儒略历于公元前 45 年才开始实行，且初期经过若干次调整，但今天人类习惯于按照儒略历最终的规则反推一切 1582 年 10 月 4 日之前的时间。注意，公元零年并不存在，即公元前 1 年的下一年是公元 1 年。因此公元前 1 年、前 5 年、前 9 年、前 13 年……以此类推的年份应视为闰年。

输入格式

第一行一个整数 $Q$ ，表示询问的组数。
接下来 $Q$ 行，每行一个非负整数 $r_i$ ，表示一个儒略日。

输出格式

对于每一个儒略日 $r_i$ ，输出一行表示日期的字符串 $s_i$ 。共计 $Q$ 行。 $s_i$ 的格式如下：

若年份为公元后，输出格式为 Day Month Year。其中日（Day）、月（Month）、年（Year）均不含前导零，中间用一个空格隔开。例如：公元 2020 年 11 月 7 日正午 12 点，输出为 7 11 2020。
若年份为公元前，输出格式为 Day Month Year BC。其中年（Year）输出该年份的数值，其余与公元后相同。例如：公元前 841 年 2 月 1 日正午 12 点，输出为 1 2 841 BC。

输入输出样例 #1

输入 #1

text

输出 #1

text

1
2
311 1 4713 BC
10 4 4713 BC
27 9 4711 BC

输入输出样例 #2

输入 #2

text

输出 #2

text

输入输出样例 #3

输入 #3

text

1见附件中的 julian/julian3.in

输出 #3

text

1见附件中的 julian/julian3.ans

说明/提示

【数据范围】

测试点编号	$Q =$	$r_i \le$
$1$	$1000$	$365$
$2$	$1000$	$10^4$
$3$	$1000$	$10^5$
$4$	$10000$	$3\times 10^5$
$5$	$10000$	$2.5\times 10^6$
$6$	$10^5$	$2.5\times 10^6$
$7$	$10^5$	$5\times 10^6$
$8$	$10^5$	$10^7$
$9$	$10^5$	$10^9$
$10$	$10^5$	年份答案不超过 $10^9$

[CSP-S 2020] 儒略日

目录

题意

思路

使用天文年份编号

换历点

儒略历部分

格里高利历部分

如何从天数反推年月日

关键边界

代码

复杂度

总结