【模板】最小生成树

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使用 Kruskal 算法按边权从小到大选不成环的边,并用并查集维护连通块。

OJ: luogu

题目 ID: P3366

难度:普及/提高-

标签:模板最小生成树Kruskal并查集图论

日期: 2026-01-03 09:38

题意

给定一个无向带权图,求最小生成树权值和。

如果图不连通,输出 orz

思路

先看一个可以直接验证想法的朴素解:

cpp
// brute.cpp:小数据暴力解,用来帮助理解题意并辅助对拍。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 10;
const int MAXM = 25;

struct Edge {
    int u;
    int v;
    int w;
};

int n, m;
Edge edges[MAXM];
int fa[MAXN];

int find_set(int x) {
    if (fa[x] == x) {
        return x;
    }
    fa[x] = find_set(fa[x]);
    return fa[x];
}

bool check_mask(int mask, long long &sum) {
    int cnt = 0;
    sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if ((mask & (1 << i)) == 0) {
            continue;
        }
        cnt++;
        sum += edges[i + 1].w;
        int fu = find_set(edges[i + 1].u);
        int fv = find_set(edges[i + 1].v);
        if (fu == fv) {
            return false;
        }
        fa[fu] = fv;
    }

    if (cnt != n - 1) {
        return false;
    }

    int root = find_set(1);
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (find_set(i) != root) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w;
    }

    long long ans = -1;
    for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++) {
        long long sum;
        if (check_mask(mask, sum)) {
            if (ans == -1 || sum < ans) {
                ans = sum;
            }
        }
    }

    if (ans == -1) {
        cout << "orz\n";
    } else {
        cout << ans << '\n';
    }

    return 0;
}

正式做法使用 Kruskal。

把所有边按权值从小到大排序。依次考虑每条边:如果这条边连接的是两个不同连通块,就把它加入生成树;否则加入它会成环,跳过。

连通块用并查集维护。

最后如果选出的边数是 n-1,说明得到了最小生成树;否则图不连通。

代码

cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 5005;
const int MAXM = 200005;

struct Edge {
    int u;
    int v;
    int w;
};

int n, m;
Edge edges[MAXM];
int fa[MAXN], sz[MAXN];

bool cmp_edge(const Edge &a, const Edge &b) {
    return a.w < b.w;
}

void init_dsu() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
        sz[i] = 1;
    }
}

int find_set(int x) {
    while (fa[x] != x) {
        fa[x] = fa[fa[x]];
        x = fa[x];
    }
    return x;
}

bool unite_set(int x, int y) {
    int fx = find_set(x);
    int fy = find_set(y);
    if (fx == fy) {
        return false;
    }
    if (sz[fx] < sz[fy]) {
        swap(fx, fy);
    }
    fa[fy] = fx;
    sz[fx] += sz[fy];
    return true;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w;
    }

    sort(edges + 1, edges + m + 1, cmp_edge);
    init_dsu();

    long long ans = 0;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (unite_set(edges[i].u, edges[i].v)) {
            ans += edges[i].w;
            cnt++;
            if (cnt == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }

    if (cnt != n - 1) {
        cout << "orz\n";
    } else {
        cout << ans << '\n';
    }

    return 0;
}

复杂度

排序复杂度为:

text
O(m log m)

并查集操作近似线性,空间复杂度为 O(n+m)O(n+m)

总结

Kruskal 的核心是:每次选择当前最小的、连接两个不同连通块的边。

并查集负责快速判断一条边是否会成环。