[USACO07DEC] Charm Bracelet S

题意

有 N 件物品和一个容量为 M 的背包。

第 i 件物品有重量 W[i]
第 i 件物品有价值 D[i]
每件物品最多只能选一次

要求在总重量不超过 M 的前提下，让总价值最大。

这张表把题目直接翻译成了背包模型：

原题对象	背包含义
一件物品	一个只能选一次的物品
重量 `W[i]`	物品重量
价值 `D[i]`	物品价值
背包容量 `M`	背包容量

从表里可以看到，本题就是最标准的一维 0/1 背包。

思路

先看最直接的暴力：

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62#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// brute.cpp：小数据暴力解，使用 01 序列枚举每个物品选或不选。

const int MAXN = 3405;

int n, m;
int weight[MAXN];
int value[MAXN];
int choose_item[MAXN]; // choose_item[i] = 0/1，表示第 i 个物品不选/选
int answer;

bool check() {
    int used_weight = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (choose_item[i] == 1) used_weight += weight[i];
    }
    return used_weight <= m;
}

int calc_answer() {
    int total_value = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (choose_item[i] == 1) total_value += value[i];
    }
    return total_value;
}

// dfs_choose 只负责生成完整 01 序列，合法性和答案统计放到叶子节点。
void dfs_choose(int dep) {
    if (dep == n + 1) {
        if (check()) {
            int current_value = calc_answer();
            if (answer < current_value) answer = current_value;
        }
        return;
    }

    for (int i = 0; i <= 1; i++) {
        choose_item[dep] = i;
        dfs_choose(dep + 1);
    }
}

void read_input() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    read_input();
    dfs_choose(1);
    cout << answer << '\n';

    return 0;
}

brute.cpp 把每个物品看成一个 01 选择：choose_item[i] = 0/1 表示不选或选。递归先生成完整选择，叶子节点再检查总重量是否超过 M，并统计奖励。

这个做法显然正确，但复杂度是 $O(2^N)$ ，只能做小数据验证。

关键观察是：每个物品只有“选 / 不选”两种决策，和 0/1 背包完全一致。

所以设：

dp[j] 表示容量不超过 j 时能获得的最大奖励

这张表说明状态定义：

状态	含义
`dp[j]`	容量不超过 `j` 时能获得的最大奖励

处理第 i 件物品 (W[i], D[i]) 时：

不选它：dp[j] 保持原值
选它：从 dp[j - W[i]] 转移过来，再加上 D[i]

于是转移就是：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - W[i]] + D[i])

因为每件物品只能选一次，所以容量必须倒序枚举。

最后输出 dp[M] 即可。

DP 公式

设 $dp_j$ 表示容量不超过 $j$ 时能获得的最大奖励。处理重量 $W_i$ 、价值 $D_i$ 的物品时：

dp_j=\max(dp_j,\ dp_{j-W_i}+D_i)

其中 $j\geqslant W_i$ ，容量倒序枚举。最终答案为：

dp_M

公式解释：这是最标准的 0/1 背包。dp_j 表示容量 j 内的最大价值，选当前物品时消耗重量并增加奖励。

代码

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38#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 3405;
const int MAXM = 12885;

int n, m;
int weight[MAXN];
int value[MAXN];
int dp[MAXM]; // dp[j] 表示容量不超过 j 时能获得的最大奖励

void read_input() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
}

void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 每个物品只能选一次，所以容量必须倒序枚举。
        for (int j = m; j >= weight[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

    cout << dp[m] << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    read_input();
    solve();

    return 0;
}

复杂度

时间复杂度： $O(NM)$
空间复杂度： $O(M)$

总结

这题是 0/1 背包最标准的模板题之一：

每个物品最多选一次
只有一个容量限制
目标是最大化总价值

以后看到这类题，就可以直接往一维 0/1 背包上想。

一图流解析

这张图把本题的建模、关键转移、实现检查和训练方法压缩到一页，适合读完正文后复盘。