硬币翻转

题意

给出一排 0/1 硬币，1 表示正面，0 表示反面。

一次操作可以把从第一个硬币开始的某个前缀整体翻面。

要求用最少操作次数把所有硬币都变成 1。

思路

这题从右往左看最清楚。

最直接的教学版写法如下：

cpp

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37// brute.cpp：从右往左真正模拟翻前缀，作为教学版和对拍基准程序。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string s;

void flip_prefix(int right_pos) {
    for (int i = 0; i <= right_pos; i++) {
        if (s[i] == '0') {
            s[i] = '1';
        }
        else {
            s[i] = '0';
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> s;

    int ans = 0;
    int n = (int) s.size();

    // 从右往左定死每个位置：如果当前位置是 0，只能翻到这里为止。
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        if (s[i] == '0') {
            flip_prefix(i);
            ans++;
        }
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

如果当前考虑到位置 i：

它已经是 1，不用动；
它是 0，那就只能立刻把前缀 [0..i] 翻掉，因为以后再也没机会改它。

这说明最优策略其实是被强制决定的。

再往前推一步，会发现答案可以直接线性统计：

每当相邻两个字符不同，答案加一；
如果最后一个字符是 0，答案再加一。

这样就不需要真的翻前缀了。

代码

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29#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string s;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> s;

    int n = (int) s.size();
    int ans = 0;

    // 每次相邻字符变化，说明至少要多做一次翻转来切换当前前缀状态。
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (s[i] != s[i - 1]) {
            ans++;
        }
    }

    // 最右端如果还是 0，最后还必须再翻一次。
    if (s[n - 1] == '0') {
        ans++;
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

复杂度

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(1)$

总结

这题的关键是把“前缀翻转”换成“从右往左定位置”的思考方式。

一旦看到右边位置的决策是强制的，就很容易推到最终的线性统计公式。

目录

题意

思路

代码

复杂度

总结