[SCOI2009] 生日礼物

题意

有一条彩带，上面挂着 N 颗彩珠，一共分成 K 种颜色。

输入不是按坐标顺序给出的，而是按颜色分组给出每一种彩珠出现的位置。

现在要剪出一段连续彩带，使它至少包含每一种颜色各一颗，求最短长度。

这里长度定义为：

右端点坐标 - 左端点坐标

思路

先看一个可以直接验证想法的朴素解：

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68#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// brute.cpp：小数据暴力解，用来帮助理解题意并辅助对拍。

const int MAXN = 205;
const int MAXK = 65;

struct Node {
    int pos;
    int kind;
};

int n, k;
Node a[MAXN];
int cnt[MAXK];

bool cmp_node(const Node &x, const Node &y) {
    if (x.pos != y.pos) {
        return x.pos < y.pos;
    }
    return x.kind < y.kind;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> k;
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        int t;
        cin >> t;
        for (int j = 1; j <= t; j++) {
            ++tot;
            cin >> a[tot].pos;
            a[tot].kind = i;
        }
    }

    sort(a + 1, a + tot + 1, cmp_node);

    int ans = INT_MAX;

    // brute.cpp：枚举排序后彩珠序列上的左右端点。
    // 只要这个区间已经覆盖了所有种类，就用坐标差更新答案。
    for (int l = 1; l <= tot; l++) {
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            cnt[i] = 0;
        }
        int covered = 0;

        for (int r = l; r <= tot; r++) {
            if (cnt[a[r].kind] == 0) {
                covered++;
            }
            cnt[a[r].kind]++;

            if (covered == k) {
                ans = min(ans, a[r].pos - a[l].pos);
                break;
            }
        }
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

brute.cpp 先把所有彩珠整理成 (位置, 颜色)，按位置排序，然后枚举左端点 l，再向右找到第一个能覆盖全部颜色的右端点 r。

这个思路是对的，但它会重复扫描很多区间，最坏复杂度到 $O(N^2)$ ，肯定过不了。

关键观察是：排序之后，题目就变成了一个标准的“最短覆盖全部种类的连续区间”问题。

于是我们维护滑动窗口 [l, r]：

cnt[c] 表示颜色 c 在窗口里出现多少次
covered 表示当前已经覆盖了多少种颜色

做法很直接：

右端点 r 不断右移，把新彩珠加入窗口
当窗口已经覆盖全部 K 种颜色时，就不断右移左端点 l
每收缩一次，都尝试用 a[r].pos - a[l].pos 更新答案
一旦删掉左端点后某种颜色消失，窗口就不再合法，停止收缩，继续扩张右端点

这样每个彩珠最多被左右指针各经过一次，窗口扫描本身就是线性的。

实现上最重要的对应关系有两点：

先把输入的“按颜色分组”打平成统一数组，再排序
再在这个排序数组上套标准双指针模板

代码

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69#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1000005;
const int MAXK = 65;

struct Node {
    int pos;   // 彩珠所在位置
    int kind;  // 彩珠的种类编号
};

int n, k;
Node a[MAXN];
int cnt[MAXK]; // 当前窗口里每一种彩珠出现了多少次

bool cmp_node(const Node &x, const Node &y) {
    if (x.pos != y.pos) {
        return x.pos < y.pos;
    }
    return x.kind < y.kind;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> k;
    int tot = 0;

    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        int t;
        cin >> t;
        for (int j = 1; j <= t; j++) {
            ++tot;
            cin >> a[tot].pos;
            a[tot].kind = i;
        }
    }

    // 先把所有彩珠按坐标排成一条线，问题就变成：
    // 找到一个最短的连续彩珠段，使它覆盖全部 k 种颜色。
    sort(a + 1, a + tot + 1, cmp_node);

    int covered = 0; // 当前窗口里已经覆盖了多少种彩珠
    int l = 1;
    int ans = INT_MAX;

    for (int r = 1; r <= tot; r++) {
        if (cnt[a[r].kind] == 0) {
            covered++;
        }
        cnt[a[r].kind]++;

        while (covered == k) {
            // 当前窗口已经合法，尽量用它更新最短长度。
            ans = min(ans, a[r].pos - a[l].pos);

            // 左端点右移，尝试继续缩短区间。
            cnt[a[l].kind]--;
            if (cnt[a[l].kind] == 0) {
                covered--;
            }
            l++;
        }
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

复杂度

排序： $O(N log N)$
双指针扫描： $O(N)$

总时间复杂度：

$O(N log N)$

空间复杂度：

$O(N)$

总结

这题最容易卡住的地方不是双指针本身，而是前面的建模转换：

原输入是按颜色分组
但答案对应的是按坐标连续的一段彩带

只要先把所有彩珠打平成按坐标排序的一条线，后面就是标准的最短覆盖区间模型。

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总结