I Hate It

题意

给出一列成绩，需要支持两种操作：

查询某段区间内的最高分
把某个位置的成绩改成 max(当前值, 给定值)

思路

先看一个可以直接验证想法的朴素解：

cpp

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40#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// brute.cpp：直接维护数组。
// 查询时暴力扫区间，修改时做 max 更新。

const int MAXN = 200005;

int n, m;
int a[MAXN];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        char op;
        int x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (op == 'Q') {
            if (x > y) {
                swap(x, y);
            }
            int ans = 0;
            for (int j = x; j <= y; j++) {
                ans = max(ans, a[j]);
            }
            cout << ans << '\n';
        } else {
            a[x] = max(a[x], y);
        }
    }

    return 0;
}

brute.cpp 用数组直接维护成绩。

查询时暴力扫区间最大值，更新时做一次 max 修改。

当数据量变大后，瓶颈显然出在区间查询。

这题是最标准的线段树区间最大值模型：

每个节点维护自己这段区间的最大成绩

于是：

查询时，把目标区间拆成若干线段树节点取最大
更新时，递归到单点位置，修改后一路回溯更新祖先

这题还有一个小细节：

更新不是赋值
而是 a[x] = max(a[x], y)

所以在线段树叶子处也要按这个语义处理。

代码

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84#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200005;

int n, m;
int a[MAXN];
int seg[MAXN << 2];

void push_up(int u) {
    seg[u] = max(seg[u << 1], seg[u << 1 | 1]);
}

void build(int u, int l, int r) {
    if (l == r) {
        seg[u] = a[l];
        return;
    }

    int mid = (l + r) >> 1;
    build(u << 1, l, mid);
    build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    push_up(u);
}

void update(int u, int l, int r, int pos, int val) {
    if (l == r) {
        // 题目要求的是把成绩改成 max(原成绩, 新成绩)。
        seg[u] = max(seg[u], val);
        return;
    }

    int mid = (l + r) >> 1;
    if (pos <= mid) {
        update(u << 1, l, mid, pos, val);
    } else {
        update(u << 1 | 1, mid + 1, r, pos, val);
    }
    push_up(u);
}

int query(int u, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (ql <= l && r <= qr) {
        return seg[u];
    }

    int mid = (l + r) >> 1;
    int ans = 0;
    if (ql <= mid) {
        ans = max(ans, query(u << 1, l, mid, ql, qr));
    }
    if (qr > mid) {
        ans = max(ans, query(u << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr));
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    build(1, 1, n);

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        char op;
        int x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (op == 'Q') {
            if (x > y) {
                swap(x, y);
            }
            cout << query(1, 1, n, x, y) << '\n';
        } else {
            update(1, 1, n, x, y);
        }
    }

    return 0;
}

复杂度

建树： $O(n)$
单点更新： $O(log n)$
区间查询： $O(log n)$

空间复杂度：

$O(n)$

总结

这题就是区间最大值线段树模板。

唯一需要特别留意的是更新操作不是直接覆盖，而是“只升不降”。

目录

题意

思路

代码

复杂度

总结