用树形 DP 维护每个员工选与不选两种状态,父子不能同时选择。
OJ: luogu
题目 ID: P1352
难度:普及/提高-
标签:树形DP动态规划树
日期: 2026-06-22 22:59
题意
给定一棵上下级关系树,每个员工有快乐值。
不能同时邀请一个员工和他的直接上司,求最大快乐值。
思路
先看一个可以直接验证想法的朴素解:
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// brute.cpp:小数据枚举每个员工是否参加,检查上下级冲突。
const int MAXN = 25;
int n;
int happy[MAXN];
int child_node[MAXN], parent_node[MAXN];
int choose_flag[MAXN];
int answer;
void dfs_enum(int pos) {
if (pos == n + 1) {
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (choose_flag[child_node[i]] && choose_flag[parent_node[i]]) {
return;
}
}
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (choose_flag[i]) {
sum += happy[i];
}
}
answer = max(answer, sum);
return;
}
choose_flag[pos] = 0;
dfs_enum(pos + 1);
choose_flag[pos] = 1;
dfs_enum(pos + 1);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> happy[i];
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
cin >> child_node[i] >> parent_node[i];
}
answer = 0;
dfs_enum(1);
cout << answer << '\n';
return 0;
}暴力枚举每个人参加或不参加会有 2^n 种方案。树上父子限制适合用树形 DP。
定义:
text
dp[u][0] = 不邀请 u 时,u 子树内最大快乐值
dp[u][1] = 邀请 u 时,u 子树内最大快乐值若不邀请 u,每个孩子可以来,也可以不来:
text
dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1])若邀请 u,所有直接孩子都不能来:
text
dp[u][1] += dp[v][0]最后答案是:
text
max(dp[root][0], dp[root][1])代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 6005;
int n;
int happy[MAXN];
vector<int> children[MAXN];
bool has_parent[MAXN];
int dp[MAXN][2]; // dp[u][0]:不选 u 的最大快乐值;dp[u][1]:选择 u 的最大快乐值。
void read_input() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> happy[i];
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
int child, parent;
cin >> child >> parent;
children[parent].push_back(child);
has_parent[child] = true;
}
}
void dfs(int u) {
dp[u][0] = 0;
dp[u][1] = happy[u];
for (int i = 0; i < (int)children[u].size(); i++) {
int v = children[u][i];
dfs(v);
// 不选 u 时,孩子 v 可选可不选,取更优。
dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]);
// 选择 u 时,直接下属 v 不能参加。
dp[u][1] += dp[v][0];
}
}
void solve() {
int root = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!has_parent[i]) {
root = i;
break;
}
}
dfs(root);
cout << max(dp[root][0], dp[root][1]) << '\n';
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
read_input();
solve();
return 0;
}复杂度
每个点处理一次,时间复杂度为
总结
树形 DP 的第一步是想清楚“父节点如何影响子节点”。
本题中影响只有一种:父亲来了,孩子不能来,所以每个点用“选/不选”两个状态即可。