银行贷款

题意

已知贷款本金、每月还款额和还清所需月数，求按月累计的利率，以百分数输出并保留一位小数。

思路

给定小数形式的月利率 rate，每个月结束后的余额是：

text

1balance = balance * (1 + rate) - payment

利率越高，最后剩余余额越大。于是可在题目保证的 [0,3] 范围内二分：最终余额不大于零时利率还可以提高，否则应降低。

浮点二分固定执行 100 次，精度足够覆盖 0.1% 的输出要求。

Python 知识

Python 可以直接混合整数输入和浮点计算，无需显式类型转换本金。
固定次数浮点二分结构稳定，不依赖 while right-left > eps 的阈值选择。
f"{left * 100:.1f}" 同时完成小数转百分数和保留一位小数。
/home/rainboy/mycode/hugo-blog/content/program_language/python/oj_input_output_cheatsheet.md：浮点格式化输出。

代码

python

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19principal, payment, months = map(int, input().split())


def remaining_balance(rate):
    balance = principal
    for _ in range(months):
        balance = balance * (1 + rate) - payment
    return balance


left, right = 0.0, 3.0
for _ in range(100):
    middle = (left + right) / 2
    if remaining_balance(middle) <= 0:
        left = middle
    else:
        right = middle

print(f"{left * 100:.1f}")

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46/**
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 */

/* P1163 银行贷款 */
/* 二分月利率，逐月模拟还款后剩余本金，使最终余额接近零。 */

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double principal; // 本金
double payment;   // 每月还款额
int months;       // 还清月数

// 给定月利率 rate（小数），计算最终剩余本金
double remaining(double rate) {
    double balance = principal;
    for (int i = 1; i <= months; i++) {
        balance = balance * (1 + rate) - payment;
    }
    return balance;
}

int main() {
    cin >> principal >> payment >> months;

    // 利率越高，最终剩余本金越大，单调递增
    double l = 0.0, r = 3.0;
    // 浮点二分固定 100 次，精度足够
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (remaining(mid) <= 0) {
            l = mid; // 利率还能更高
        } else {
            r = mid;
        }
    }

    // 输出百分数，保留一位小数
    printf("%.1f\n", l * 100);
    return 0;
}

复杂度

每次判定模拟 m 个月，总时间复杂度为 $O(100m)=O(m)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ 。

总结

先写出“给定利率后余额如何变化”，再观察最终余额对利率单调递增，就能把反求利率转成浮点二分。

目录

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复杂度

总结