最大子数组和

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Kadane 算法：以 i 结尾的最大和 = max(a[i], dp[i-1] + a[i])，滚动 O(1) 空间。

OJ: leetcodecn

题目 ID: maximum-subarray

难度:普及+/提高

标签:数组动态规划分治cpppython

日期: 2026-07-28 22:05

目录

  1. 题意
  2. 思路
  3. 代码
  4. 复杂度
  5. 总结

题意

整数数组 nums，找出和最大的连续子数组，返回其和。

思路

暴力枚举 O(n²)。Kadane 算法：dp[i] 表示以 i 结尾的子数组最大和，转移 dp[i] = max(a[i], dp[i-1] + a[i])。由于只依赖前一个状态，可用一个变量滚动。

全负数组不影响算法正确性，因为每个位置至少可以选自己。

代码

cpp
/**
 * Author by Rainboy
 */
// main.cpp：Kadane 算法，dp[i] = max(a[i], dp[i-1] + a[i])，O(n)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int> &nums) {
        int ans = nums[0], cur = nums[0];
        for (size_t i = 1; i < nums.size(); i++) {
            cur = max(nums[i], cur + nums[i]);
            ans = max(ans, cur);
        }
        return ans;
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int &x : a)
        cin >> x;
    cout << Solution().maxSubArray(a) << '\n';
    return 0;
}
python
#!/usr/bin/env python3
from typing import List


class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        ans = cur = nums[0]
        for x in nums[1:]:
            cur = max(x, cur + x)
            ans = max(ans, cur)
        return ans


def main() -> None:
    n = int(input())
    nums = list(map(int, input().split()))
    print(Solution().maxSubArray(nums))


if __name__ == "__main__":
    main()

复杂度

  • 时间复杂度：O(n)，一次遍历。
  • 空间复杂度：O(1)。

总结

Kadane 算法是"线性 DP 滚动"的经典例子。把"枚举所有子数组"降维成"枚举所有结尾位置"，每个结尾只需维护以该位置结尾的最大值。